Permutaciones de letras en 'COOLEEMEE'

Lo mejor es encontrar primero arreglos que no tengan dos$E's$juntos, insertando el$E's$en los guiones ($-$)

$-C-O-O-L-M-\;\;:\binom64\frac{5!}{2!} = 900$

De esto, necesitamos restar arreglos con los dos$O's$juntos,

$-C-[OO]-L-M-$, a saber$\binom54 4! = 120$,

dando una respuesta final de$\;900-120=780$

Agregado para abordar la consulta de OP

He tomado el problema en el sentido de que ni$E's\;nor\;O's$deberían estar juntos ya que ha mencionado la inclusión-exclusión. Si son dos subproblemas separados, uno sin$E's$juntos, otro sin$O's$juntos, ya conocen el procedimiento.

Aquí buscamos el número de palabras sin caracteres iguales consecutivos. Tales palabras se llaman palabras de Smirnov o Carlitz. Consulte el ejemplo III.24 Palabras de Smirnov en Analytic Combinatorics de Philippe Flajolet y Robert Sedgewick para obtener más información.

Una función generadora para el número de palabras de Smirnov sobre un$n$-alfabeto ario está dado por

Aquí consideramos un alfabeto$\mathcal{V}=\{C,E,L,M,O\}$con$n=5$letras. Usando$[z^k]$para denotar el coeficiente de$z^k$de una serie calculamos

$$\begin{align*} &\color{blue}{[CE^4LMO^2]\left(1-\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^{-1}}\tag{2}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=0}^{\infty}\left(\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^j\tag{3}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=5}^{9}\left(\sum_{a\in\mathcal{V}}\frac{a}{1+a}\right)^j\tag{4}\\ &\qquad=[CE^4LMO^2]\sum_{j=5}^{9}\left(C+E\left(1-E+E^2-E^3\right)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\left.+L+M+O(1-O)\right)^j\tag{5}\\ &\qquad=120-1\,440+6\,300-11\,760+7\,560\tag{6}\\ &\,\,\color{blue}{\qquad=780} \end{align*}$$ de acuerdo con la respuesta de @trueblueanils.

Comentario:

• En (2) usamos la función generadora (1). Como queremos identificar potencias específicas de letras, usamos un término$\frac{a}{1+a}$por cada letra en$\mathcal{V}$.

• En (3) desarrollamos la serie geométrica.

• En (4) observamos que cada término$\frac{a}{1+a}=a\left(1-a+a^2-\cdots\right)$contiene al menos un factor$a$de modo que el rango del índice de la serie puede restringirse a$j=5,\ldots,9$.

• En (5) desarrollamos$\frac{a}{1+a}$para cada una de las letras de$\mathcal{V}$. Nos saltamos todas las potencias de letras, que no contribuyen a$C,E^4,L,M,O^2$.

• En (6) calculamos los coeficientes de las potencias de$j=5,\ldots,9$con algo de ayuda de Wolfram Alpha.

Si no permitimos O consecutivas, entonces creo que primero podríamos permutar las letras restantes 'CLEEMEE', ¡así que hay 7!/4! maneras. Luego hay 8 espacios y quiero insertar 2 O, así que debería ser$\frac{7!}{4!}\binom{8}{2}$¿en total?

Si considera 8 espacios (7 letras + 1) aquí, significa que está agregando los dos Os como un bloque único, por lo que debe obtener$\frac{7!}{4!}\binom{8}{1}=\frac{7!}{4!}\cdot 8$, que son exactamente los casos que tienes que quitar del total.

Este es básicamente el primer paso del principio de inclusión-exclusión: estás considerando todas las permutaciones posibles y luego excluyes las que tienen Os consecutivos.

De lo contrario, si considera 9 espacios, tiene$\frac{7!}{4!}\binom{9}{2}=\frac{9!}{4!2!}$, que básicamente consiste en dividir el problema inicial en dos pasos separados.

El problema con la letra E es un poco más complicado, no puedo garantizar que esta sea la solución más fácil:

Su objetivo es eliminar una vez del total cada palabra que tenga al menos dos Es consecutivas

puede comenzar eliminando las permutaciones del bloque [EE] y las letras "COOLEEM". Pero luego notas que también eliminaste:

1. dos veces (uno de más) las secuencias que contienen dos pares de E (..EE...[EE]...,...[EE]...EE...)

2. dos veces (uno de más) las secuencias que contienen al menos tres E consecutivas (...E[EE]...,...[EE]E...)

3. tres veces (dos de más) las secuencias que contienen al menos cuatro E consecutivas (...EE[EE]...,...E[EE]E...,...[EE]EE...) .

Corrige el primer error agregando una vez las permutaciones de los símbolos "[EE][EE]COOLM".

Intentas corregir el segundo error sumando una vez las permutaciones del bloque [EEE] y las letras "COOLEM", pero de nuevo te das cuenta de que estás sumando dos veces las palabras con 4 E (...E[EEE]. ..,...[EEE]E) modificando así su segundo y tercer error.

Esto también es de alguna manera una aplicación no canónica del principio de inclusión-exclusión.