¿Cuántas permutaciones de tiradas de dados suman un total fijo?

El número de formas para$2$dados para sumar$n$es obviamente$0$para$n<2$y$n> 12$. Para los demás, piensa en cuántos números diferentes que aparecen en el primer dado te permiten crear una suma de$n$con los números del otro dado. Para$7$, como ejemplo, no importa lo que lances en el primer dado, hay una manera de hacer siete con el otro dado. Para$6$, sin embargo, no puedes lanzar un$6$en el primer dado y luego obtener un total de$6$en ambos dados.

Dado que para un número dado en el primer dado hay como máximo una forma de hacer la suma deseada con el otro dado, contar esto dará el resultado deseado. Es fácil ver que si$n \le 7$El numero es$n-1$y si$n > 7$El numero es$13 - n$.

Trazar esto sale muy bien:

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Según su comentario, podemos extender esto un poco a una situación más general: desea la cantidad de formas de tener$n$dados con valores entre$1$y$k$suma a un valor$m$. Los matemáticos dicen que esto es un$n$-composicion de$m$con la mayor parte como máximo$k$.

Este es un problema no trivial. Vea esta página . La solución resulta ser el coeficiente de$x^m$en el polinomio

$$\left(\frac{x^{k+1}-x}{x-1}\right)^n.$$

Para pequeños valores de$m,n$es mejor calcular esto a mano o por computadora. Con valores grandes existen métodos de aproximación, como se detalla en el enlace mencionado.

El número de permutaciones que dan una suma de$k$al rodar$n$dado de 6 caras es:

$$P\left( {n,k} \right) =\sum\limits_{i = 0}^{{i_{\max }}} {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 6i - 1}\\ {k - 6i - n} \end{array}} \right)}$$ dónde $\displaystyle {i_{\max }} = \left[ {\frac{{k - n}}{6}} \right]$y $\left[ x \right]$representa la función " piso ".

Por ejemplo, el número de permutaciones que dan una suma$k=31$al rodar$n=10$dados es:

$$P\left( {10,31} \right) = \sum\limits_{i = 0}^3 {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ i \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {31 - 6i - 1}\\ {31 - 6i - 10} \end{array}} \right)} =$$ $$\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ {21} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {24}\\ {15} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {18}\\ 9 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 3 \end{array}} \right)} \right] =3393610$$ Traté de explicar " paso a paso " el funcionamiento interno de esa fórmula, utilizando argumentos de combinatoria pura en mi sitio, en este enlace y, sinceramente, no resultó ser una tarea fácil.

El número de veces la suma de$n$tirar los dados es$m$se puede encontrar como coeficiente de$x^m$en expansión de$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n$.

$Example:$Cuando se lanzan DOS dados:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2 = x^{12}+2 x^{11}+3 x^{10}+4 x^9+5 x^8+6 x^7+5 x^6+4 x^5+3 x^4+2 x^3+x^2$$

Porque coeficiente de$x^7$es$6$en la expresión anterior, significa que hay$6$combinaciones que suman$7$.

$Example:$Cuando se lanzan TRES dados:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3 = x^{18}+3 x^{17}+6 x^{16}+10 x^{15}+15 x^{14}+21 x^{13}+25 x^{12}+27 x^{11}+27 x^{10}+25 x^9+21 x^8+15 x^7+10 x^6+6 x^5+3 x^4+x^3$$

Como coeficiente$x^{10}$es$27$en la expresión anterior, eso significa que hay$27$combinaciones que suman$10$.