Estoy tratando de diseñar un juego en el que el tablero esté formado por una cuadrícula de 3x3 de fichas cuadradas. Cada mosaico es una cuadrícula de espacios de 5x5. Cada mosaico tiene 4 espacios de salida, cada uno ubicado en 1 de los 3 espacios centrales a lo largo de cada borde del mosaico. Todas las salidas deben estar conectadas a lo largo de un camino de espacios ortogonalmente adyacentes. Los caminos solo pueden tener 1 espacio de ancho y todos deben conducir a un solo espacio de intersección en cualquiera de los 9 espacios centrales de una loseta. Los espacios en esta ruta que no son salidas no pueden estar en un espacio de borde. ¿Cuántas fichas posibles pueden existir dentro de estos parámetros?
No es necesario que los caminos se conecten de mosaico a mosaico. Tengo curiosidad por saber las matemáticas detrás de esto en caso de que necesite ajustar el tamaño de los mosaicos.
Si entiendo las cosas correctamente, cada mosaico tiene tres posibles puntos de salida por borde, y hay una cuadrícula de 3x3 de posibles puntos de intersección internos. Así que la respuesta ingenua sería . Sin embargo, supongo que un mosaico es el mismo si lo rotas.
Para problemas de conteo con simetría, podemos usar el Lema de Burnside . Supongo que las únicas simetrías son la rotación por múltiplos de un cuarto de vuelta.
No rotar corrige (no cambia) todo losas. Al girar media vuelta, se fijan las fichas con un punto de intersección central y salidas opuestas, por lo que realmente solo puede elegir salidas en dos bordes adyacentes, y hay azulejos en total. Girando un cuarto de vuelta (que se puede hacer en vías) fija esas fichas con un punto de intersección central, y las salidas en tres bordes son rotaciones de la primera: mosaicos (basado en la elección existente para un borde) en total.
Según el Lema de Burnside, el número de teselas rotatoriamente distintas debe ser el promedio de los números de teselas fijas:
Si los mosaicos son transparentes y se pueden voltear, habrá menos mosaicos distintos.