Nos dan una clase que consta de 4 niños y 4 niñas.

Como dijo Simon en su respuesta anterior,$a$puede tener dos casos:

$a.1:$2 niños 1 niña, lo que da$\binom{4}{2}\binom{4}{1}$opciones para las personas y$3!$arreglos para sus posiciones que produce$6\cdot4\cdot6=144$posibilidades.

$a.2:$1 chico 2 chicas, que es lo mismo que arriba y da$144$.

De este modo$a=288$.

$b$también tiene dos casos:

$b.1:$1 chico 2 chicas, que como arriba, da$144$.

$b.2:$3 chicas, lo que da$\binom{4}{3}$elegir a las tres chicas y$3!$arreglos que dan$4\cdot6$posibilidades$24$.

De este modo$b=168$.

El caso a es 2 niños 1 niña o 1 niño 2 niñas, el caso b es 1 niño 2 niñas o 3 niñas. Los números son lo suficientemente pequeños para enumerar las posibilidades.

Estoy de acuerdo con la respuesta de Linus S y los comentarios de Simon y Joe Taxpayer. Este es un enfoque alternativo que utiliza una función generadora que brindará las soluciones fácilmente incluso si los números no son "lo suficientemente pequeños".

Estamos contando el número de funciones inyectivas del conjunto {Presidente, Vicepresidente, Secretario} al conjunto {niño1, niño2, niño3, niño4, niña1, niña2, niña3, niña4}. La función generadora exponencial bivariada:

(1 + x)^4 * (1 + y*x)^4 contará el número de chicas que se seleccionan para un número arbitrario de posiciones. En este caso (ya que hay 3 posiciones) buscamos el coeficiente de x^3/3! que es: 24 + 144 y + 144 y^2 + 24 y^3. Esto nos dice que de las 336 selecciones posibles hay 24 sin chicas, 144 con exactamente una chica, 144 con exactamente 2 chicas y 24 con exactamente 3 chicas.