Perímetro de un triángulo equilátero trazado con respecto a un cuadrado.

Question

Perímetro de un triángulo equilátero trazado con respecto a un cuadrado.

geometría
Matemáticas
geometría analítica

Faiq Irfan

Aquí hay una pregunta que se hizo en el Concurso Internacional de Matemáticas Canguro 2016 . La pregunta va así:

Si el perímetro del cuadrado de la figura es de 4 unidades, ¿cuál es el perímetro del triángulo equilátero?

Lo que hice:

Bueno, probé algo muy ingenuo y fue la suposición de que el triángulo equilátero corta el lado superior del cuadrado en su punto medio. Por lo tanto dando el siguiente resultado.

Por el teorema de Pitágoras,

\bar{A B} = \bar{METRO C} = \sqrt{{\bar{B C}}^{2} + {\bar{B METRO}}^{2}} = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

$\overline{AB} = \overline{MC} = \sqrt{\overline{BC}^2 + \overline{BM}^2} = \sqrt{\left(1\right)^2 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{\sqrt5}{2}$

Entonces el perímetro del triángulo es:

\begin{aligned} PAG & = \bar{A F} + \bar{F METRO} + \bar{METRO C} + \bar{C D} + \bar{D mi} + \bar{mi A} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 1 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \\ = \frac{5}{2} + \sqrt{5} \end{aligned}

$\begin{align} P&=\overline{AF} +\overline{FM}+\overline{MC}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{EA}\\ &= \frac12+\frac12+\frac{\sqrt5}2+1+\frac12+\frac{\sqrt5}2\\ &= \frac52+\sqrt5 \end{align}$

Sin embargo, esta no es la respuesta correcta y sé que el problema está en la suposición de que $M$ es el punto medio de $\overline{AB}$ . Entonces, ¿cuál es el método y la respuesta correctos?

Gracias por la atención.

Respuestas (5)

Perímetro de un triángulo equilátero trazado con respecto a un cuadrado.

sembrado · Answer 1

Solo necesitamos saber que el $\angle ABC=30°$ , el resto es sencillo.

roberto z · Answer 2

$M$ NO es el punto medio de $AB$ . Tenga en cuenta que el ángulo $\angle MCB$ es igual a $90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$ , por lo tanto

| METRO B | = | B C | broncearse (30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} .

$|MB|=|BC|\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Además

| E D | = | M B |

$|ED|=|MB|$ (¿por qué?). ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Ojalá me hubiera actualizado antes de publicar mi respuesta, ¡es posible que haya revelado demasiado!

El tartamudeo de Tartaglia · Answer 3

Tenga en cuenta que el ángulo AED es $\frac{\pi}{3}$ radianes (o 60 grados si lo prefiere). Como el lado opuesto a ese ángulo es $1$ , y $\tan(\frac{\pi}{3})$ es $\sqrt{3}$ , sabemos que el lado ED debe tener una longitud $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . El triángulo MBC es similar a EAD, por lo que el lado MB también es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Puedes usar el teorema de Pitágoras y el hecho de que cada lado del cuadrado es 1 para encontrar las longitudes necesarias de todos los lados restantes.

Cesareo · Answer 4

Dado un segmento horizontal de longitud $L$ y dos lineas

{\begin{cases} y_{1} = X broncearse (\frac{π}{2}) \\ y_{2} = (L - X) broncearse (\frac{π}{3}) \end{cases}

$\begin{cases} y_1 = x \tan(\frac{\pi}{2})\\ y_2 = (L-x)\tan(\frac{\pi}{3}) \end{cases}$

su intersección está en

y_{1} = y_{2} \Rightarrow X = \frac{broncearse (\frac{π}{3}) L}{broncearse (\frac{π}{3}) + broncearse (\frac{π}{2})}

$y_1=y_2\Rightarrow x = \frac{\tan(\frac{\pi}{3})L}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})}$

por lo tanto el triangulo equilatero tiene perimetro $3L$ y el cuadrado tiene perimetro $4 x = \frac{4L\tan(\frac{\pi}{3})}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})} = \frac{4L\sqrt3}{\sqrt 3+1}$

farruhota · Answer 5

Haciendo referencia a la figura, sea $x$ y $h$ ser la mitad del lado y la altura del triángulo equilátero, respectivamente:

$\hspace{3cm}$

Para el triángulo equilátero:

h^{2} + X^{2} = (2 X)^{2} \Rightarrow h^{2} = 3 X^{2} \Rightarrow h = X \sqrt{3} .

$h^2+x^2=(2x)^2 \Rightarrow h^2=3x^2 \Rightarrow h=x\sqrt{3}.$

De la semejanza de triángulos:

\frac{h}{4} = \frac{X}{2 X - 4} \Rightarrow \frac{X \sqrt{3}}{4} = \frac{X}{2 (X - 2)} \Rightarrow X = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \Rightarrow PAG = 6 X = 4 \sqrt{3} + 12

$\frac{h}{4}=\frac{x}{2x-4} \Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{x}{2(x-2)} \Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}+2 \Rightarrow P=6x=4\sqrt{3}+12.$

Anexo: Se indicó que el perímetro del cuadrado es $4$ , no el lado. Entonces, la respuesta debe ser dividida por $4$ Llegar $3+\sqrt{3}$ .

Perímetro de un triángulo equilátero trazado con respecto a un cuadrado.

Faiq Irfan

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sembrado

roberto z

El tartamudeo de Tartaglia

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roberto z

Cesareo

farruhota

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