Encuentre un plano con una distancia de 333 desde 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Question

Encuentre un plano con una distancia de 333 desde 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Guerlando OC

Necesito encontrar un avión tal que su distancia desde el avión $3x-y-z = 0$ es $3$ . Como la distancia se define solo para planos paralelos, ya sé que tienen que ser paralelos, y luego, la ecuación del nuevo plano tendrá el mismo vector normal $(3,-1,-1)$ .

Además, este plano interseca al origen, porque $(0,0,0)$ satisface su ecuación. Así que mi idea era normalizar el vector normal y luego multiplicarlo por $3$ . Entonces podría ponerlo en el origen y verlo como un punto de distancia. $3$ desde el origen (y también desde el plano), y entonces este punto debe estar en el nuevo plano, por lo que debe satisfacer su ecuación, que es:

3 X - y - z + d = 0

$3x-y-z + d = 0$

Creo que esto podría funcionar, pero no creo que sea la mejor manera de resolver este ejercicio.

Un amigo mío me envió una solución como esta:

3 (X - X_{0}) - 1 (y - y_{0}) - 1 (z - z_{0}) = 0 3 X - y - z + (- 3 X_{0} + y_{0} + z_{0}) = 0

$3(x-x_0) -1(y-y_0) -1(z-z_0) = 0 \\3x -y -z + (-3x_0 +y_0+z_0) = 0$

entonces deberíamos encontrar $P = (x_0,y_0,z_0)$ tal que $-3x_0 +y_0+z_0 = 0$ . Entonces, $3P$ debe ser un punto del nuevo plano, y por lo tanto satisfacer su nueva ecuación.

¿Cuál es la mejor manera de resolver esto? ¿Podría explicarme qué hizo mi amigo en su solución?

Dr. Sonnhard Graubner

convierte tu ecuación plana en la de Hesse y determina la variable

d

$d$ tal es la distancia al otro

3

$3$

Sr. Fry

¿No sería más fácil empezar con un punto

P

$\textbf{P}$ en el avión e ir en la dirección de

v = 3 \cdot \frac{(3, - 1, - 1)}{‖ (3, - 1, - 1) ‖}

$v = 3 \cdot \frac{(3,-1,-1)}{\left\|(3,-1,-1)\right\|}$ Entonces obtén todo

X \in R^{3}

$X \in \mathbb{R}^3$ tal que

(X - P_{1}) \cdot v = 0

$(X-P_1) \cdot v = 0$ donde sabemos que podemos elegir

P_{1} = P + v

$P_1 = \textbf{P}+v$ .

erick wong

@Guerlando OCs La solución de tu amigo no tiene sentido. Si

P

$P$ satisface

- 3 x_{0} + y_{0} + z_{0} = 0

$-3x_0 + y_0 + z_0 = 0$ , entonces también

3 P

$3P$ , y

5 P

$5P$ . Por lo tanto, no identifica de forma única la distancia en absoluto. Su solución suena perfectamente razonable.

set

@ Mr.Fry, ¿por qué no publicar su comentario como respuesta?

Sr. Fry

@Seth, tuve la idea e intuitivamente parecía correcto, pero no resolví los detalles, por lo que puede haber agujeros.

set

@ Mr.Fry, su comentario es definitivamente correcto y me parece que es la mejor manera de abordar este problema. De hecho, para este ejemplo podemos elegir

P = 0

$P=0$ y luego es bastante fácil calcular una ecuación para el avión (también verifiqué que la ecuación concuerde con la respuesta actual, que ya tiene 3 votos a favor)

Respuestas (2)

Encuentre un plano con una distancia de 333 desde 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

convierte tu ecuación plana en la de Hesse y determina la variable $d$ tal es la distancia al otro $3$
¿No sería más fácil empezar con un punto $\textbf{P}$ en el avión e ir en la dirección de $v = 3 \cdot \frac{(3, - 1, - 1)}{‖ (3, - 1, - 1) ‖}$ $v = 3 \cdot \frac{(3,-1,-1)}{\left\|(3,-1,-1)\right\|}$ Entonces obtén todo $X \in \mathbb{R}^3$ tal que $(X-P_1) \cdot v = 0$ donde sabemos que podemos elegir $P_1 = \textbf{P}+v$ .
@Guerlando OCs La solución de tu amigo no tiene sentido. Si $P$ satisface $-3x_0 + y_0 + z_0 = 0$ , entonces también $3P$ , y $5P$ . Por lo tanto, no identifica de forma única la distancia en absoluto. Su solución suena perfectamente razonable.
@ Mr.Fry, ¿por qué no publicar su comentario como respuesta?
@Seth, tuve la idea e intuitivamente parecía correcto, pero no resolví los detalles, por lo que puede haber agujeros.
@ Mr.Fry, su comentario es definitivamente correcto y me parece que es la mejor manera de abordar este problema. De hecho, para este ejemplo podemos elegir $P=0$ y luego es bastante fácil calcular una ecuación para el avión (también verifiqué que la ecuación concuerde con la respuesta actual, que ya tiene 3 votos a favor)

Harish Chandra Rajpoot · Answer 1

Ecuación del plano paralelo al plano dado: $3x-y-z=0$ es

3 X - y - z + C = 0

$3x-y-z+c=0$ Dónde

c

$c$ es una constante arbitraria. Ahora, usando

distance formula for parallel planes

$\color{blue}{\text{distance formula for parallel planes}}$ como sigue

\frac{| C - 0 |}{\sqrt{(3)^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2}}} = 3

$\frac{\left|c-0\right|}{\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(-1)^2}}=3$

| C | = 3 \sqrt{11}

$\left|c\right|=3\sqrt{11}$

C = \pm 3 \sqrt{11}

$c=\pm 3\sqrt{11}$ Por lo tanto, hay dos planos paralelos a una distancia

3

$3$ a cada lado del plano dado:

3 x - y - z = 0

$3x-y-z=0$ . Por lo tanto, las ecuaciones de planos desconocidos

3 X - y - z \pm 3 \sqrt{11} = 0

$\color{blue}{3x-y-z\pm3\sqrt{11}=0}$

Editar : en general, la distancia entre dos planos paralelos: $ax+by+cz+d_1=0$ & $ax+by+cz+d_2=0$ es

= \frac{| d_{1} - d_{2} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + C^{2}}}

$=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Sr. Fry · Answer 2

Decidí agregar el comentario que hice como solución. Creo que esto es un poco más intuitivo para mí. La solución planteada por Harish también es buena y no quiero decir nada con la afirmación "no sería más fácil", ya que se trata de preferencias personales.

Encuentre un plano con una distancia de 333 desde 3x−y−z=03x−y−z=03x-yz = 0

Guerlando OC

Dr. Sonnhard Graubner

Sr. Fry

erick wong

set

Sr. Fry

set

Respuestas (2)

Harish Chandra Rajpoot

Sr. Fry

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Encuentra la ecuación vectorial de la recta paralela al plano ππ\pi, perpendicular a la recta ABABAB y que corta a sss

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