Resolviendo un problema en Geometría de Coordenadas

Bueno, tengo otra solución que es muy útil para los exámenes basados ​​​​en el patrón mcq, como el que le damos en la india. Aprendí y derivé una propiedad en las secciones cónicas que dice que en una elipse, el producto de las perpendiculares de ambos focos de la elipse a la tangente es igual a b$^2$,b es semieje menor. la ecuación de una elipse general es

$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1

su ecuación tangente es-

$\frac{xx1}{a^2}$+$\frac{yy1}{b^2}$=1 (x1 e y1 son puntos en la elipse, que se toma x1=acos$\phi$y y1=bsen$\phi$)

ahora las tangentes giran con todas las pendientes posibles alrededor de la elipse... ahora, para facilitar nuestro trabajo, asuma pendiente =o para una tangente...$\alpha$en tu ecuacion sera$\pi$/2 para pendiente cero con intercepción en y +2 o -2. Pon eso en tu ecuación y encuentra el producto de las perpendiculares, como la línea es horizontal, la perpendicular tendrá la misma longitud. encontrará que es 4. ahora, como dije, el producto de las perpendiculares es$b^2$, entonces b=2, ahora usa esa ecuación tangente general y la ecuación dada para encontrar el valor de a=3. Verás que satisface la ecuación y una elipse. Significa que lo estábamos asumiendo bien. El parámetro en su ecuación estaba haciendo que la línea arbitraria fuera tangente a la elipse. Aquí hay una ilustración para una mejor comprensión de la imagen.

$\displaystyle 2x \cos \alpha - 3y \sin \alpha = 6 \implies y = \frac{2 \cot \alpha}{3} x - 2 \csc \alpha = mx + c$dónde$m = \tan \theta = \dfrac{2 \cot \alpha}{3}$

Considerar$0 \leq \alpha \leq 2\pi$que da todas las líneas posibles para la ecuación dada. Si$\alpha = \frac{\pi}{2}$o$\frac{3 \pi}{2}$, la línea es$y = -2$o$y = 2$respectivamente y la distancia perp desde ambos puntos en el eje x sería$2$. Entonces el producto es$4$. Para otros valores de$\alpha$

La línea corta el eje x en$~ \displaystyle x = \frac{3}{\cos\alpha}$

Entonces la distancia de los puntos dados al punto de intersección es,

$\left|\displaystyle \sqrt5 \pm \frac{3}{\cos\alpha}\right|$

El producto de longitudes perpendiculares a la línea viene dado por,

$\displaystyle \left| 5 - \frac{9}{\cos^2\alpha}\right| \cdot \sin^2\theta = \left| \frac{5 \cos^2\alpha - 9}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} \right|$

Ahora,$\displaystyle \frac{\tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{4 \cot^2\alpha}{9 + 4 \cot^2\alpha} = \frac{4 \cos^2\alpha}{9 \sin^2\alpha + 4 \cos^2\alpha}$

$\displaystyle = \frac{4 \cos^2\alpha}{9 - 5 \cos^2\alpha}$

Eso lleva a que el producto sea$4$.

Un factor que falta es el lugar geométrico de los puntos.$P$y$Q$.

Para el punto P tenemos el sistema de ecuaciones

$2\cos\alpha x - 3\sin\alpha y=6$

$3\sin\alpha x + 2\cos\alpha y=3\sqrt5\sin\alpha$

Elevar al cuadrado ambas ecuaciones y sumar. Los términos de productos cruzados se cancelan y terminamos con

$(4\cos^2\alpha+9\sin^2\alpha)(x^2+y^2)=36+45\sin^2\alpha$

Eliminar$\cos\alpha$usando$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, entonces

$(4+5\sin^2\alpha)(x^2+y^2)=36+45\sin^2\alpha$

$\color{blue}{x^2+y^2=9, \text{ a circle of radius 3}}$

Similarmente$Q$tiene este mismo lugar.

Luego dibujamos este círculo que intersecta el$x$-eje en$C=(3,0)$y$D=(-3,0)$. Con esto en la mano extendemos$\overline{AP}$a través de$A$apuntar$Q'$. por simetría$AQ'=BQ$(las líneas$\overline{AP},\overline{BQ}$son paralelas y equidistantes del centro, entonces$Q$y$Q'$son antípodas en el círculo). Al mismo tiempo para cuerdas de intersección de un círculo.$(AP)(AQ')=(AC)(AD)$. Entonces:

$(AP)(BQ)=(AP)(AQ')=(AC)(AD)=(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)=4.$

Este ejercicio ilustra un teorema de la geometría de las secciones cónicas. Dada una elipse o una hipérbola, podemos trazar una perpendicular desde ambos focos a cualquier tangente de la cónica. El producto de las alturas será entonces el cuadrado del semieje menor para una elipse o el cuadrado del eje semiconjugado para una hipérbola. Podemos interpretar este último caso como que presenta un producto negativo (el cuadrado de un eje semimenor imaginario puro) porque las alturas están orientadas de manera opuesta como si una de ellas fuera negativa. La familia de líneas en el problema que nos ocupa son las tangentes a una elipse cuyos vértices son$(\pm3,0)$(que coincide con un diámetro del lugar geométrico circular) con focos en los mismos puntos que los elegidos para$A$y$B$.

Mira mi análisis de tu pregunta. La ecuación es 2xcosα−3ysinα=0 . Esta ecuación pasa por el origen y los puntos A y B están en el eje x. Suponga que la pendiente de la ecuación es tan$\phi$.

He ilustrado el diagrama aquí.

ahora el producto de la longitud de dos perpendiculares sera 5 sen$^2$ $\phi$. De la ecuación de la línea la pendiente de la línea es

obtener valor de$sin^2\phi$de$tan\phi$. Verá que no está libre de alfa. También puede verlo en el gráfico aquí (lo he actualizado). Como el gráfico es simétrico, la longitud dependerá de$\phi$. Tal vez interpreté la pregunta incorrectamente. Corrígeme si está mal