Mapas de R3R3\mathbb{R}^3 conmutando con el producto cruz

Supongamos que hay un vector distinto de cero$c$tal que$\phi(c)=0$. Dejar$P$sea ​​el plano ortogonal a$c$. Cualquier vector$a \in P$Se puede escribir como$a=b\times c$para algunos$b\in \mathbb R^3$. Por eso,$\phi(a)=\phi(b)\times \phi(c)=0$. Además, cualquier vector$v\in\mathbb R^3$Se puede escribir como$a\times b$para algunos$a\in P$y$b\in\mathbb R^3$. Resulta que$\phi(v)=0$, eso es$\phi$es idénticamente cero.

De ahora en adelante asume que$\phi$no es idénticamente cero, por lo tanto$\phi(v)=0 \iff v=0$. Por lo tanto,

$$a\parallel b \iff \phi(a) \parallel \phi(b) \tag{1}$$ Si $a\perp b$, entonces existe $c$tal que $a=b\times c$, por eso $\phi(a)=\phi(b)\times \phi(c)$. De este modo, $$a \perp b \implies \phi(a) \perp \phi(b) \implies |\phi(a\times b)|=|\phi(a)||\phi(b)| \tag{2}$$

Dejar$e_1,e_2,e_3$ser la base estándar de$\mathbb R^3$. Por (2) los vectores$\phi(e_j)$son ortogonales. También por (2), satisfacen relaciones tales como$|\phi(e_2)|=|\phi(e_1)||\phi(e_3)|=|\phi(e_1)|^2|\phi(e_2)|$, por eso$|\phi(e_1)|=1$y lo mismo para los demás. De este modo,$(\phi(e_j))$es una base ortonormal de$\mathbb R^3$, y está orientado positivamente ya que$\phi(e_3)=\phi(e_1)\times \phi(e_2)$. Composición$\phi$con la rotación, podemos y asumimos que$\phi(e_j)=e_j$,$j=1,2,3$.

El mapa$P_{23}(x)=(e_1\times x)\times e_1$es la proyección ortogonal sobre el$e_2e_3$avión. Desde$\phi$correcciones$e_1$, tenemos$\phi\circ P_{23} = P_{23}\circ \phi$. La misma relación de conmutación es válida para las proyecciones en otros planos de coordenadas. Por lo tanto,$\phi$viajes diarios con proyecciones$P_1,P_2,P_3$en el eje de coordenadas (p. ej.,$P_3 = P_{23}P_{13}$). Esto nos permite escribir

$$\phi(x_1,x_2,x_3)=(f_1(x_1),f_2(x_2),f_3(x_3))\tag{3}$$ para algunas funciones reales $f_1,f_2,f_3$.

El mapa$\phi$es extraño (es decir,$\phi(-x)=-\phi(x)$) porque cualquier vector$x$Se puede escribir como$a\times b$, haciendo

$$\phi(-x)=\phi(b\times a)=\phi(b)\times \phi(a) = -\phi(a)\times \phi(b) = -\phi(x)$$ Además, $$f_1(t)e_1 = \phi(t e_1) = \phi(t e_2 \times e_3) = \phi(te_2)\times e_3 = f_2(t)e_1$$ cuyos rendimientos $f_1\equiv f_2$, y de manera similar para otros. De este modo, $$\phi(x_1,x_2,x_3)=(f(x_1),f(x_2),f(x_3)) \tag{4}$$ dónde $f:\mathbb R\to\mathbb R$es extraño y desaparece solo en $0$.

Para cualquier$s,t\in\mathbb R$tenemos$f(st)e_3 = \phi(se_1\times te_2) = f(s)f(t)e_3$. De este modo,$f$es un homomorfismo multiplicativo:

$$f(st)=f(s)f(t) \quad \forall s,t\in\mathbb R\tag{5}$$ Como consecuencia, por $s>0$tenemos $f(s)=f(\sqrt{s})^2>0$.

Si$s+t=u$, entonces el vector$(s,t,-u)$es ortogonal a$(1,1,1)$. Por (2) el vector$(f(s),f(t),-f(u))$es ortogonal a$(f(1),f(1),f(1))$. Resulta que$f$es un homomorfismo aditivo:

$$f(s+t)=f(s)+f(t) \quad \forall s,t\in\mathbb R\tag{6}$$ Desde $f(1)=1$por (5), la propiedad (6) implica que $f(q)=q$para todos $q\in \mathbb Q$. Desde $f(s)>0$cuando $s>0$, (6) también implica que $f$es estrictamente creciente. Concluimos que $f(x)=x$para todos los reales $x$, apelando a la definición de los números reales tal como Dedekind recorta los racionales.