Coseno director de tres rectas mutuamente perpendiculares en 3D

Encontré una pregunta para demostrar que la suma de los cuadrados de los recíprocos de tres diámetros mutuamente perpendiculares de un elipsoide es constante.

Para resolver esta pregunta, asumí que la elipse era

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ y 3 lineas son $$\frac{x}{l_1}=\frac{y}{m_1}=\frac{z}{n_1}=1 , \frac{x}{l_2}=\frac{y}{m_2}=\frac{z}{n_2}=1 , \frac{x}{l_3}=\frac{y}{m_3}=\frac{z}{n_3}=1$$

Ahora tomo cualquier punto arbitrario en esta línea como

$$(\lambda l_1,\lambda m_1,\lambda n_1)$$ para todas las líneas y encuentre la intersección de la línea y el elipsoide.

Usando esto si encuentra el punto y la longitud del diámetro, digamos

$$d_1,d_2,d_3$$ y luego calculo $$\frac{1}{d_1^2}+\frac{1}{d_2^2}+\frac{1}{d_2^2} = \frac{1}{4}[\frac{1}{a^2}(l_1^2+l_2^2+l_3^2)+\frac{1}{b^2}(m_1^2+m_2^2+m_3^2)+\frac{1}{c^2}(n_1^2+n_2^2+n_3^2)]$$

Aquí, cuando busqué la solución, dice ese término

$$l_1^2+l_2^2+l_3^2=1$$ como las líneas son perpendiculares, esto también es lo mismo para m y n, pero sé que si las líneas son perpendiculares, entonces $$l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 = 0$$

Sugiera dónde van las cosas mal en el último paso.