De la relación espectro/dispersión a la función de partición

Question

De la relación espectro/dispersión a la función de partición

bosones
Física
materia Condensada
función de partición
mecánica estadística

Zakk

Conozco la relación espectro/dispersión de un sistema bosónico.

mi (k) = \dots

$E \left( \mathbf{k} \right) = \cdots$

¿Existe un método general para escribir la función de partición cuando se conoce el espectro del sistema?

¡Gracias de antemano!

genero

Z = \sum_{k} \exp (- β E_{k})

$Z = \sum_k \exp(-\beta E_k)$ . Reemplazar

\sum

$\sum$ con

\int

$\int$ para espectro continuo (que también debe tener una medida definida).

Zakk

genneth: En primer lugar, gracias por su respuesta. Salí con esa misma idea pero tenía algunas dudas al respecto. ¿No necesito incluir algo sobre la densidad de estados o la distribución de Bose-Einstein? Quiero decir, la suma en

Z

$Z$ es una suma de todos los microestados del sistema, ¿puedo estar seguro de que

E_{k}

$E_{\mathbf{k}}$ para todos los valores permitidos de

k

$\mathbf{k}$ abarca todos los microestados, uno y exactamente una vez?

genero

solo necesita asegurarse de que cada k etiquete solo un estado, y las repeticiones de energía para diferentes k se encargarán de sí mismas.

Respuestas (1)

De la relación espectro/dispersión a la función de partición

$Z = \sum_k \exp(-\beta E_k)$ . Reemplazar $\sum$ con $\int$ para espectro continuo (que también debe tener una medida definida).
genneth: En primer lugar, gracias por su respuesta. Salí con esa misma idea pero tenía algunas dudas al respecto. ¿No necesito incluir algo sobre la densidad de estados o la distribución de Bose-Einstein? Quiero decir, la suma en $Z$ es una suma de todos los microestados del sistema, ¿puedo estar seguro de que $E_{\mathbf{k}}$ para todos los valores permitidos de $\mathbf{k}$ abarca todos los microestados, uno y exactamente una vez?
solo necesita asegurarse de que cada k etiquete solo un estado, y las repeticiones de energía para diferentes k se encargarán de sí mismas.

Maksim Zholudev · Answer 1

La definición de la función de partición es

Z = \sum_{q} {mi}^{- β {mi}_{Σ} (q)} (1)

$Z = \sum_\mathbf{q} e^{-\beta E_\Sigma(\mathbf{q})} \qquad (1)$ dónde

q

$\mathbf{q}$ es el conjunto de números cuánticos que describen el estado microscópico del sistema,

E_{Σ} (q)

$E_\Sigma(\mathbf{q})$ es la energía del sistema cuando está en ese estado microscópico,

β = 1 / (k_{B} T)

$\beta = 1/(k_B T)$

En tu caso $\mathbf{q}$ es el conjunto de los valores de $\mathbf{k}$ vectores de los bosones:

q = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{norte}) .

$\mathbf{q} = (\mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2, \ldots, \mathbf{k}_N).$ La permutación de las partículas no produce un nuevo estado ya que los bosones son indistinguibles. Dividiremos la suma por el número de permutaciones de las partículas.

N!

$N!$ para tener esto en cuenta. Esto es como si los estados tuvieran degeneración fraccionaria.

1 / N!

$1/N!$ .

La energía $E_\Sigma(\mathbf{q})$ es la suma de las energías de las partículas:

{mi}_{Σ} (q) = \sum_{i = 1}^{norte} mi (k_{i})

$E_\Sigma(\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^N E(\mathbf{k}_i)$

Entonces la suma (1) se convierte en un producto de $N$ integrales sobre $\mathbf{k}$ espacio:

Z = \frac{1}{norte!} \prod_{i = 1}^{norte} \int \frac{d^{3} k_{i}}{(2 π ℏ)^{3}} {mi}^{- β mi (k_{i})}

$Z = \frac{1}{N!} \prod_{i=1}^N \int \frac{d^3\mathbf{k}_i}{(2\pi\hbar)^3} e^{-\beta E(\mathbf{k}_i)}$

Todas las integrales son iguales y podemos omitir el índice $i$ :

Z = \frac{1}{norte! (2 π ℏ)^{3 norte}} {(\int {mi}^{- β mi (k)} d^{3} k)}^{norte} (2)

$Z = \frac{1}{N!(2\pi\hbar)^{3N}} \left(\int e^{-\beta E(\mathbf{k})} d^3\mathbf{k}\right)^N \qquad (2)$

Si hay degeneración de espín, habrá un factor adicional $(2s+1)^N$ , dónde $s$ es el giro de una partícula.

De la relación espectro/dispersión a la función de partición

Zakk

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Maksim Zholudev

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