Bose condensado en 4d

Sí.

La clave aquí es que para los bosones que no interactúan, la ocupación media de cada estado (partícula única)$j$es dado por:

$$f(E_j) = \frac{1}{e^{(E_j - \mu)/kT}-1} .$$

Ahora ves que el estado fundamental$E_0$, la ocupación es infinita. Esto se debe a que para el$E_0$indicar el potencial químico$\mu$también tiene que ser cero, para garantizar$f$para seguir siendo positivo. Físicamente, el potencial químico se define como$\partial U/\partial N$, es decir, la energía añadida cuando añades una partícula al sistema. Pero si lo agregas a la$E=0$estado, entonces la energía extra es 0...

La condensación de Bose-Einstein comienza cuando saturas los estados excitados y comienzas a ocupar macroscópicamente el estado fundamental, que tiene una ocupación infinita.

Abajo$T_c$,$f(E_0)$comienza a explotar, por lo que ya no tiene sentido usar la distribución anterior, ya que los átomos comienzan a acumularse en el estado fundamental.
Entonces$T_c$se extrae de cuando su total$N$es igual al número de átomos en los estados excitados,$N_{ex} = \int_0 ^{\infty}dE \, g(E) \, f(E)$dónde$g(E)$es la densidad de estados , es decir, el número de estados en un intervalo dado$[E, E+dE]$. La suma debería haber sido sobre los estados , pero la cambié a la energía. $E$simplemente introduciendo este término de densidad de estados.

La densidad de estados$g(E)$escalas con el número de dimensiones$d$. gratis$d$sistema dimensional va como$g(E) \propto E^{d/2 -1}$, mientras que para$d$potencial armónico dimensional se escala como$g(E) \propto E^{d-1}$.

En general puedes escribir:

$$g(E) \propto E^{\alpha -1},$$

con$\alpha$siendo el número de grados de libertad en el sistema dividido por 2. Para partículas libres en$d$dimensiones,$\alpha = d/2$, y por un$d$potencial armónico dimensional, los grados de libertad son$2d$($d$traducciones y$d$oscilaciones) por lo que$\alpha = d$. Todos están de acuerdo con lo anterior.

La integral anterior se puede reescribir como:

$$N_{ex} = \int_0 ^{\infty}dE \, g(E) \, f(E) \propto (k T_c)^{\alpha} \int_0 ^{\infty} dx\frac{x^{\alpha-1}}{e^x - 1}$$

donde definí$x$como$E/k T_c$.

el integral

$$\int_0 ^{\infty} dx \frac{x^{\alpha-1}}{e^x - 1} = \Gamma(\alpha) \zeta(\alpha), \qquad \alpha > 1$$

con$\Gamma$siendo la función gamma,$\zeta$siendo la función zeta de Riemann.

Lo que te da:

$$k T_c \propto \frac{1}{[\Gamma(\alpha) \zeta(\alpha)]^{1/\alpha}}.$$

Para tener una transición BEC, desea$T_c \neq 0$, es decir, una solución no trivial.

En el espacio libre,$d=2,3,4$tener$\alpha = 1, 3/2, 2$:

$$\begin{array}{ccc} \alpha & \Gamma(\alpha) & \zeta(\alpha) \\ \hline 1/2 & \text{integral does not converge} \\ 1 & 1 & \infty \\ 3/2 & \sqrt{\pi}/2 & 2.612 \\ 2 & 1 & \pi^2/6 \\ \dots & \dots & \dots \end{array}$$

Así que en un sistema libre con$d = 1,2$la única solución es$T_c = 0$, pero para$d>2$,$T_c$es finito

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Todos los detalles y factores numéricos se pueden encontrar en libros como Pethick & Smith y Pitaevskii & Stringari.