Verificación de prueba: Demostrar que un espacio es de dimensión finita.

Si T es un mapa lineal de V a W tal que ker ⁡ ( T ) y soy ⁡ ( T ) Ambos son de dimensión finita. Entonces V también es de dimensión finita.

Dado que la prueba del teorema de la dimensión requiere V al ser de dimensión finita, no podemos usarlo directamente aquí.

Bosquejo de mi prueba: Como no me han presentado otras herramientas sobre espacios de dimensión infinita, confío en el hecho de que si V es de dimensión infinita, entonces existe una secuencia infinita de vectores v → 1 , v → 2 , ⋯ ∈ V tal que ( v → 1 , … , v → norte ) es linealmente independiente para cualquier entero positivo norte .

Primero construyo una base ( tu → 1 , … , tu → metro ) para ker ⁡ ( T ) , luego proceda a probar que todas las listas en la forma: ( tu → 1 , … , tu → metro , v → 1 , … , v → norte ) es linealmente independiente si v → j no están en ker ⁡ ( T ) .

Entonces podemos demostrar que ( T v → 1 , … , T v → norte ) es linealmente independiente para cualquier valor de norte . que es entonces equivalente a soy ⁡ ( T ) siendo infinitamente dimensional. Así que hemos llegado a una contradicción.

Además, la pregunta parece tan obvia, ¿hay alguna manera de mostrar esto con un método más inteligente?

¿Por qué no repites la prueba del teorema de la dimensión? Según recuerdo, la prueba toma bases de I metro T y ker ⁡ T y produce una base de V , que es precisamente lo que necesitas.
Hay una versión más general del teorema de la dimensión que dice así: hay un isomorfismo en el espacio vectorial V ≈ núcleo ( T ) ⊕ imagen ( T ) .
@Guy Tal vez la versión que leí fue un poco diferente, el autor extiende una base de ker ⁡ ( T ) a V , y muestre que los vectores base que no están en ker ⁡ ( T ) es un espacio que tiene una dimensión igual a soy ⁡ ( T ) . Pero veo tu idea, hubiera funcionado también
@LeeMosher Lo siento, pero no estoy seguro de cómo ker ⁡ ( T ) ⊕ soy ⁡ ( T ) ¿trabajaría? ¿No son esos vectores de ker ⁡ ( T ) y soy ⁡ ( T ) de diferentes espacios vectoriales? Entonces, ¿cómo tiene sentido la suma directa con diferentes espacios vectoriales?
@Bubububu Sí, tienes razón. El resultado que LeeMosher describió es V = ker ⁡ ( T ) ⊕ i metro ( T ∗ ) dónde T ∗ : W → V es el adjunto de T . En general, sin embargo, tenemos que las dimensiones suman: oscuro ⁡ ( ker ⁡ ( T ) ) + oscuro ⁡ ( i metro ( T ) ) = oscuro ⁡ ( V ) .
Quise decir lo que escribí, donde núcleo ( T ) ⊕ imagen ( T ) denota la suma directa ordinaria (externa) de dos espacios vectoriales.
Si ha establecido qué son los "espacios cocientes", hay una buena prueba en ese sentido.
el teorema de la dimensión se cumple en general. ver el libro de lang
@Omnomnomnom Sé lo que es un espacio cociente, me encantaría saber cuál es la buena prueba.

Respuestas (1)

Aquí hay un bosquejo rápido de una prueba, dejando de lado todos los detalles reales del álgebra lineal y concentrándose en la construcción de las bases apropiadas.

Elige una base { a i } i ∈ I para núcleo ( T ) .

Elige una base { b j } j ∈ j para imagen ( T ) (asegúrese de que su índice se establezca I , j son disjuntos).

Elegir b j ′ ∈ T − 1 ( b j ) , para cada j ∈ j .

Tenga en cuenta que a i ≠ b j ′ para todos i ∈ I y j ∈ j , porque a i ∈ núcleo ( T ) pero b j ≠ 0 → y por lo tanto b j ′ ∉ núcleo ( T ) .

Finalmente, { a i } i ∈ I ∪ { b j ′ } j ∈ j es una base para V (Aquí es donde se ocultan todos los detalles del álgebra lineal).

Hasta el momento no hay ninguna suposición sobre la dimensión finita.

Pero si el núcleo es de dimensión finita entonces I es un conjunto finito, y si la imagen también es de dimensión finita, entonces j es un conjunto finito y por lo tanto V tiene una base finita indexada por el conjunto finito I ∪ j .

Por cierto, también se puede usar este argumento para construir un isomorfismo entre V y núcleo ( T ) ⊕ imagen ( T ) , tomando como base { a i } i ∈ I ∪ { b j ′ } j ∈ j biyectivamente a la base { a i } i ∈ I ∪ { b j } j ∈ j . Esto funciona sin ninguna suposición sobre la cardinalidad de las bases.

Gracias por la respuesta, es simple y clara. Última pregunta: ¿muestra esta construcción específica que el teorema de la dimensión se cumple para espacios de dimensión infinita? (Suponiendo axioma de elección)
Sí, en el sentido de la aritmética cardinal.
Verificación de prueba: Demostrar que un espacio es de dimensión finita.
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