Vectores, espacios vectoriales y álgebra lineal

Tengo algunas dudas con respecto a los vectores y el álgebra lineal en general:

  1. ¿Cuál es la definición formal de un vector?
  2. cuando decimos R norte , nos referimos al conjunto de todas las matrices columna con norte entradas, o todas las matrices de fila con n entradas, o todas ordenadas norte tuplas que es ( a 1 , . . . . . , a norte ) ?
  3. Si todos los miembros de un espacio vectorial son vectores, ya que R es un espacio vectorial, entonces se implica que todos los números reales son vectores. ¿Es correcto mi entendimiento?
  4. Geométricamente, ¿podemos tratar los vectores como libres o fijos? ¿Cuál es la convención correcta?
Los números reales son vectores de un solo componente.

Respuestas (2)

  1. Un vector es un elemento de un espacio vectorial.

  2. Por lo general, queremos decir ordenado norte tuplas. Sin embargo, a veces queremos las otras descripciones, dependiendo del contexto. Todos estos espacios son naturalmente isomorfos (como espacios vectoriales).

  3. Los números reales son definitivamente vectores, ya que son miembros de un 1 espacio vectorial dimensional.

  4. Normalmente tratamos los vectores como "fijos". Por ejemplo, el vector ( 1 , 0 ) en R 2 se puede representar como un vector cuya "punta" es el punto ( 1 , 0 ) y "cola" es el punto ( 0 , 0 ) .

voldemort, cuando dices "normalmente trato", ¿a qué te refieres? ¿Es la convención flexible? Además, tengo una comprensión intuitiva de lo que significa isomorfo, pero como soy estudiante de primer año, ¿podría darme una definición rigurosa?
Realmente no importa si escribes el vector como una fila o una columna, esto es solo una notación que varía mucho según el profesor, pero el objeto en sí es el mismo, la notación es solo una forma de representar el objeto. . Incluso podría escribir un vector en diferentes formas polares, pero el objeto sigue siendo el mismo. Me gustaría agregar que no me gustan los términos de libre y fijo ya que un vector está en todas partes , pero las flechas que a todos nos gusta dibujar como visualización son solo otra representación, ¡pero no el objeto en sí!
Por lo general, tratar significa que en la mayoría de los contextos este es el significado que encontraría. En matemáticas, a veces, algunas personas usan una convención diferente, y para estar seguros, uso el término "generalmente tratar". Isomórficos significa que tienen la misma estructura que los espacios vectoriales, es decir, existe un uno-uno, en el mapa lineal que es invertible entre los dos espacios.
@flawr: Exactamente, los espacios son isomorfos. La mayoría de las personas que conozco prefieren pensar R norte como norte tuplas, pero los otros dos enfoques son los mismos de todos modos.
@flawr: Hmmmm, ¿no son diferentes los 2 objetos? Por ejemplo, no puede decir que una matriz de 2 por 1 es lo mismo que una matriz de 1 por 2, ¿verdad? La forma de explicarlo de Voldemort parece tener sentido, ya que reconoce el isomorfismo entre los dos espacios, pero los considera como objetos diferentes.
@RaghavTalwar Por supuesto, existe una diferencia entre una matriz de 2 por 1 y una de 1 por 2 si las considera como representaciones de funciones lineales (que nuevamente pueden interpretarse como miembros de espacios vectoriales), pero aquí estamos hablando de la representación de vectores en R norte . Por supuesto, puede separar estrictamente los vectores de columnas y filas y hablar de isomorfismos entre ellos, pero, de nuevo, los objetos isomorfos a menudo se tratan como el mismo objeto, ya que dos objetos isomorfos tienen exactamente las mismas propiedades.
Exactamente. Gracias por aclarar eso.
  1. Decimos "vector" en lugar de "elemento de un espacio vectorial", especialmente por tradición en lecciones sobre espacios vectoriales abstractos. También podríamos decir "punto", o "silla" si lo deseamos.
  2. cuando decimos R norte , queremos decir norte -tuplas.
  3. Su comprensión es correcta, si está de acuerdo con mi punto n°1.
  4. Geométricamente, pongámonos en R 2 , "el avión": en tu dibujo, puedes interpretar los elementos de R 2 como desee, siempre que tenga sentido. Para mí, puedo representar ( 2 , 3 ) por un punto A , "punto A con coordenadas 2 y 3 ". Si estoy interesado en la línea D de ecuación y = 5 − X , por ejemplo porque es la tangente a la función F : R → R , X ↦ 3 − pecado ⁡ ( X − 2 ) en A, hablaré más naturalmente sobre ( 1 , − 1 ) como el vector tu = ( 1 , − 1 ) , que es un vector director de D . Acerca de D Diré que es la línea afín de R 2 , D = A + R . tu , y obviamente lo concebiré como un conjunto de puntos. y voy a concebir R tu como la recta vectorial que pasa por tu .
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