¿Por qué representamos cada columna por valores x e y en la imagen de columna de un sistema de ecuaciones lineales?

Empecé a ver las conferencias de álgebra lineal de Gilbert Strang. En la primera lección, tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

{ 2 X − y = 0 − X + 2 y = 3

Cuando habla de la imagen de la columna de las ecuaciones, escribe las ecuaciones como la siguiente combinación lineal de columnas

X [ 2 − 1 ] + Y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ]

Y luego, muestra cómo se ve geométricamente de la siguiente maneraImagen de la columna

Una cosa que no entiendo de la representación anterior es, ¿cómo podemos considerar dos coeficientes de X (2 y -1) y representarlos como si fueran las coordenadas X e Y de un vector?

Nunca antes había visto una representación así... Quiero decir, por supuesto que puedes trazar los puntos en un plano, pero no entiendo qué ganamos con esto.
Por lo que he entendido, creo que la representación de columnas muestra que cualquier punto es una transformación lineal de vectores base. idk, pensé en esto basado en videos de 3blue1brown
@MattiP., de alguna manera, siento que esto tiene que ver con el isomorfismo. como, en cierto modo ... estos coeficientes y el sistema de coordenadas 2d son isomorfos. ¿Tiene esto algún sentido?
Tomó esto en el siguiente sentido: podemos representar las cosas de esa manera. Es algo que descubres, de la misma manera que la gente no representaba aviones antes de Decart. Si lo haces, obtienes las mismas conclusiones y es mucho más poderoso.
Los dos coeficientes de X o Y son solo un conjunto de dos números. Simplemente se ajusta a la definición de un vector y, por lo tanto, podemos pensar en ellos como vectores. Los vectores no se representan como coordenadas. Tienen una dirección y una magnitud. El vector (2,-1) se puede representar en muchos puntos diferentes en el mismo plano (su representación solo muestra el que se origina en el punto (0,0). Por lo tanto, no piense en el vector como coordenadas, sino como una cantidad. que tiene una longitud y una dirección, pero eso es solo una representación geométrica de lo que esencialmente es una idea abstracta de un conjunto de dos números.

Respuestas (2)

No representamos tablas de datos X,Y en gráficos X,Y antes de 1600.

Fue una especie de descubrimiento, y puedes probarlo, predecirlo, etc.

Es útil.

De la misma manera, puedes ver esos coeficientes como vectores, y es muy revelador. Porque a partir de su forma y valores, puede derivar propiedades de soluciones, etc.

Es exactamente lo mismo con las matrices.

Tome las siguientes sustituciones: tu = [ 2 − 1 ] , v = [ − 1 2 ] y w = [ 0 3 ] . Luego, Gilbert Strang dice que tenemos que agregar alguna cantidad (digamos X = a ) del vector tu en cierta cantidad (digamos y = b ) del vector v para obtener el vector w = a tu + b v . Luego, encuentra las cantidades correctas para que la igualdad sea verdadera y simplemente las dibuja. No creo que haya algo desconcertante :)

Pero mi pregunta era... ¿cómo podemos considerar los coeficientes como X como coordenadas x e y? ¿Hay alguna razón para eso?
¿Por qué representamos cada columna por valores x e y en la imagen de columna de un sistema de ecuaciones lineales?
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