¿Es el diferencial en un punto regular, un isomorfismo de espacio vectorial de espacios tangentes, también un difeomorfismo de espacios tangentes como variedades?

La respuesta a su pregunta es sí, pero, al menos según la mayoría de los tratamientos que conozco, en realidad no necesita saber la respuesta para dar sentido a la definición del índice local. Esto se debe a que los autores probablemente se refieren al concepto de isomorfismos de "conservación de orientación" de espacios vectoriales orientados del álgebra en lugar de "conservación de orientación" para difeomorfismos de variedades de geometría. La última definición implica suavidad mientras que la primera definición no lo hace. Como resulta$D_qf$es un isomorfismo que conserva la orientación como un espacio vectorial si y solo si$D_qf$conserva la orientación como un difeomorfismo de variedades, pero necesita una interpretación de cómo un espacio vectorial se convierte en una variedad.

Para que su argumento sea preciso, la primera pregunta que debe hacerse es ¿cómo quiere pensar en$T_qN$(y$T_pM$) como una variedad? Es decir, ¿cuál es la topología y la estructura suave en$T_qN$? Sin responder a esta pregunta, realmente no se puede argumentar que$D_qf$es un homeomorfismo/difeomorfismo. Hay al menos dos opciones que tienen sentido:

1. Pensar en$T_qN$como un espacio vectorial. Cualquier espacio vectorial$V$tiene una estructura suave única que se obtiene declarando algún isomorfismo$\psi \colon \mathbb{R}^n \rightarrow V$ser un gráfico global para$V$. Puede verificar que la estructura suave no depende de la elección del isomorfismo y, una vez que use un isomorfismo, cualquier otro isomorfismo también será un gráfico global. Si dotas a dos espacios vectoriales$V,W$con las estructuras suaves naturales descritas anteriormente, puede verificar que cualquier mapa lineal$S \colon V \rightarrow W$será automáticamente suave (en particular, continuo). Por lo tanto, si$S$es biyectiva, será un difeomorfismo (como$S^{-1}$también es lineal, por lo tanto suave). También puede utilizar el hecho de que el diferencial de$S$se puede identificar con$S$en sí mismo, pero sólo complica el argumento. En particular, si aplica este argumento a$V = T_qN, W = T_pM$y$S = D_qf$, obtendrás eso$D_qf$es un difeomorfismo.
2. Pensar en$T_qN$como una subvariedad del haz tangente$TN$. Uno puede comprobar que$T_qN$es de hecho una subvariedad incrustada de$TM$por lo que tiene una estructura suave natural única compatible con la topología del subespacio, que resulta ser la misma estructura que obtendría si usara la estructura de espacio vectorial. Con esta interpretación, se puede comprobar que$D_qf$es un difeomorfismo mediante el uso de gráficos de corte alrededor$T_qN$y$T_pM$(que provienen de la construcción de cartas en$TN,TM$) y comprobando que, en coordenadas locales,$D_qf$es un mapa biyectivo lineal, por lo tanto, un difeomorfismo. También puede argumentar de varias otras maneras.

A continuación, para que su interpretación tenga sentido, tenga en cuenta que no es suficiente dar$T_qN$la estructura de una multiplicidad. Necesitas orientarlo también. Cómo lo hará depende de su definición de orientación (ya que hay muchas definiciones equivalentes). Si una orientación se define dando un atlas orientado, lo más fácil es trabajar con la primera interpretación anterior. Si$X \colon U \rightarrow N$es un gráfico orientado alrededor$q$con$X(a) = q$, defina una estructura suave orientada en$T_qN$declarando el diferencial$DX|_a \colon T_a(\mathbb{R}^n) \rightarrow T_qN$ser un gráfico orientado (donde se identifica$T_a(\mathbb{R}^n)$con$\mathbb{R}^n$de la forma habitual). Si su definición de orientación es diferente, es posible que deba hacer algo diferente.

Como puede ver, hay muchos detalles que completar para trabajar con su interpretación. Sin embargo, la mayoría de los libros que conozco (no he revisado Tu ni Marsden) también discuten la noción de una orientación de un espacio vectorial que es una noción de álgebra lineal pura que no está relacionada con ningún problema de suavidad. Luego, se define cuándo un mapa entre espacios vectoriales orientados conserva la orientación y, finalmente, se muestra que la definición de orientación en una variedad$N$induce una orientación para cada espacio tangente$T_qN$(que "varía suavemente" con respecto a$q$). Entonces, la definición de índice es con respecto a la noción de orientación preservando/invirtiendo mapas lineales entre espacios de vectores orientados y no difeomorfismos entre variedades orientadas. Esto brinda un tratamiento conceptualmente más limpio, ya que separa el problema de la suavidad del problema de la conservación/inversión de la orientación.