¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

Question

¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

vectores
Matemáticas
producto cruzado
espacios vectoriales
álgebra lineal

VF1

Wikipedia introduce el producto vectorial para dos vectores $\vec a$ y $\vec b$ como

\vec{a} \times \vec{b} = (‖ \vec{a} ‖ ‖ \vec{b} ‖ pecado Θ) \vec{norte}

$\vec a \times\vec b=(\| \vec a\| \|\vec b\|\sin\Theta)\vec n$ Luego menciona que

\vec{n}

$\vec n$ es el vector normal al plano formado por

\vec{a}

$\vec a$ y

\vec{b}

$\vec b$ , lo que implica que

\vec{a}

$\vec a$ y

\vec{b}

$\vec b$ son vectores 3D. Wikipedia menciona algo sobre un producto cruzado 7D, pero no voy a pretender que entiendo eso.

Mi idea, que permanece sin confirmar con ninguna fuente, es que se puede pensar en un producto cruzado de un vector que es ortogonal a todos los vectores que está cruzando. Si, y eso es un gran SI, esto es correcto en todas las dimensiones, sabemos que para un conjunto de $n-1$ $n$ vectores -dimensionales, existe un vector que es ortogonal a todos ellos. La magnitud tendría algo que ver con el área/volumen/hipervolumen/etc. formado por los vectores que estamos cruzando.

¿Tengo razón al suponer que este aspecto multidimensional de los vectores cruzados existe o esa última parte es una completa basura?

Will Jagy

Si pones tu

n - 1

$n-1$ vectores como filas en una matriz, complete con una fila aleatoria

n

$n$ para obtener una matriz cuadrada, luego tome la matriz adjunta, luego la columna

n

$n$ del adjunto es lo que estás preguntando. Esto se sigue de

A \cdot adj. A = det A \cdot I

$A \cdot \; \mbox{adj} \; A = \det A \cdot I$ donde el valor de

det A

$\det A$ no es relevante aquí.

VF1

¡Sí! El determinante de la matriz es algo que encontré útil para calcular productos cruzados de mayor dimensión cuando estaba jugando con MMA. Pero usé un término (-1)^n, porque había un signo negativo alterno que aparecía a veces. Es eso

I

$I$ ?

Will Jagy

I

$I$ se refiere a la matriz de identidad (cuadrada). ¿Es MMA Artes Marciales Mixtas?

rschwieb

¡Creo que MAMA es un acrónimo más divertido para Mathematica que MMA!

rschwieb

Siento que esta pregunta se ha hecho varias veces antes, pero realmente no puedo respaldar mi sentimiento con publicaciones.

Will Jagy

@rschwieb, sí, así que tengo una serie de preguntas que me llamaron la atención en algún momento. Si he respondido lo mismo varias veces antes de dejar comentarios, es demasiado trabajo localizar las repeticiones.

VF1

@Will Jagy Lo siento si hubo repeticiones. Tal vez no busqué lo suficientemente bien antes de interrogar.

VF1

Los muchachos de @rschwieb WRI, o al menos aquellos con los que hablé, usan la abreviatura MMA. Sin embargo, creo que usaré el tuyo tanto como sea posible a partir de ahora.

rschwieb

@VF1 Sí, mi compañero de clase que trabajaba para ellos dijo que "MMA" irritó al propio Wolfram, así que le recomendé (a mi amigo) que promocionara MAMA.

JM no es matemático

@rschwieb, ya que mencionaste Mathematica , los documentos dicen algunas de las cosas en la excelente respuesta de Eric: " Cross[v1, v2, …]da el doble (estrella de Hodge) del producto de cuña del

v_{i}

$v_i$ , vistas como formas únicas en

n

$n$ dimensiones."

Respuestas (7)

¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

Si pones tu $n-1$ vectores como filas en una matriz, complete con una fila aleatoria $n$ para obtener una matriz cuadrada, luego tome la matriz adjunta, luego la columna $n$ del adjunto es lo que estás preguntando. Esto se sigue de $A \cdot adj. A = det A \cdot I$ $A \cdot \; \mbox{adj} \; A = \det A \cdot I$ donde el valor de $\det A$ no es relevante aquí.
¡Sí! El determinante de la matriz es algo que encontré útil para calcular productos cruzados de mayor dimensión cuando estaba jugando con MMA. Pero usé un término (-1)^n, porque había un signo negativo alterno que aparecía a veces. Es eso $I$ ?
$I$ se refiere a la matriz de identidad (cuadrada). ¿Es MMA Artes Marciales Mixtas?
¡Creo que MAMA es un acrónimo más divertido para Mathematica que MMA!
Siento que esta pregunta se ha hecho varias veces antes, pero realmente no puedo respaldar mi sentimiento con publicaciones.
@rschwieb, sí, así que tengo una serie de preguntas que me llamaron la atención en algún momento. Si he respondido lo mismo varias veces antes de dejar comentarios, es demasiado trabajo localizar las repeticiones.
@Will Jagy Lo siento si hubo repeticiones. Tal vez no busqué lo suficientemente bien antes de interrogar.
Los muchachos de @rschwieb WRI, o al menos aquellos con los que hablé, usan la abreviatura MMA. Sin embargo, creo que usaré el tuyo tanto como sea posible a partir de ahora.
@VF1 Sí, mi compañero de clase que trabajaba para ellos dijo que "MMA" irritó al propio Wolfram, así que le recomendé (a mi amigo) que promocionara MAMA.
@rschwieb, ya que mencionaste Mathematica , los documentos dicen algunas de las cosas en la excelente respuesta de Eric: " Cross[v1, v2, …]da el doble (estrella de Hodge) del producto de cuña del $v_i$ , vistas como formas únicas en $n$ dimensiones."

Eric O Korman · Answer 1

Sí, estás en lo correcto. Puede generalizar el producto vectorial a $n$ dimensiones diciendo que es una operación que toma en $n-1$ vectores y produce un vector que es perpendicular a cada uno. Esto se puede definir fácilmente usando el álgebra exterior y el operador estrella de Hodge http://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual : el producto cruz de $v_1,\ldots,v_{n-1}$ entonces es solo $*(v_1 \wedge v_2 \cdots \wedge v_{n-1}$ ).

Entonces, la magnitud del producto vectorial de n-1 vectores es el volumen del paralelogramo de mayor dimensión que determinan. Especificar la magnitud y ser ortogonal a cada uno de los vectores reduce la posibilidad a dos opciones: una orientación selecciona una de estas.

Una advertencia con esta construcción: como Eric señala de pasada (y como también es cierto en tres dimensiones), lo que obtienes aquí no es estrictamente un vector en muchos sentidos de la palabra, sino un covector . En particular, la construcción de productos cruzados no es invariante bajo transformaciones lineales arbitrarias; en cambio, se transforma por la transformación adjunta de cualquier transformación lineal que se aplique a sus entradas. (Este es un problema antiguo en los gráficos por computadora, donde los 'vectores' normales a las superficies no se transforman con los puntos en la superficie).
@Steven: Eric está definiendo su operación en términos de la estrella de Hodge, lo que da un vector genuino (pero requiere una elección de producto interno y luego una elección de orientación).
Gracias por la respuesta. Eso era lo que estaba buscando. Solo estaba familiarizado con el producto de la cuña a través del Teorema de Stroke, y todavía tengo que descubrir qué es el "álgebra exterior". Es por eso que no pude hacer la conexión por mi cuenta.
@QiaochuYuan: esta "elección del producto interno": ¿es el análogo dimensional superior de lo que llamamos "mano" en tres dimensiones?
@Arkya: no, es el análogo dimensional superior de saber cuál es la longitud de los vectores. La elección de la orientación es el análogo dimensional superior de la lateralidad.

riemannio · Answer 2

Lamentablemente, la respuesta a este problema no es muy conocida, ya que depende de lo que realmente desee como "producto cruzado".

1ra solución. Operación r-aria en cualquier dimensión con ciertos axiomas. Supongamos una operación r-aria en cierto espacio d-dimensional V. Entonces, existe una operación multilineal de "producto cruzado" d-dimensional r-fold:

(C_{1} \times C_{2} \times \dots \times C_{r}) : V^{d r} = \underset{r}{\underset{⏟}{V^{d} \times \dots \times V^{d}}} ⟶ V^{d}

$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r): V^{dr}=\underbrace{V^d\times \cdots \times V^d}_{r}\longrightarrow V^d$

como

\forall i = 1, 2, . . ., r

$\forall i=1,2,...,r$ tenemos eso

(C_{1} \times C_{2} \times \dots \times C_{r}) \cdot C_{i} = 0

$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot C_i=0$

(C_{1} \times C_{2} \times \dots \times C_{r}) \cdot (C_{1} \times C_{2} \times \dots \times C_{r}) = det (C_{i} \cdot C_{j})

$(C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)\cdot (C_1\times C_2\times \ldots\times C_r)=\det (C_i\cdot C_j)$

Eckmann (1943) y Whitehead (1963) resolvieron este problema en el caso continuo sobre espacios euclidianos reales, mientras que Brown y Gray (1967) resolvieron el caso multilineal. Además, la solución que voy a dar es válida en cualquier campo con características diferentes de 2 y con $1\leq r\leq d$ . El teorema (debido a Eckmann, Whitehead y Brown-Gray) dice que el "producto vectorial generalizado" (incluido el caso 3d) existe cuando:

A) $d$ incluso, $r = 1$ . Existe un producto cruzado en cada dimensión par con un solo factor. ¡Esto se puede considerar una especie de "rotación de mecha" si conoce este concepto en todas las dimensiones pares! Este producto cruzado con un solo factor no es un poco trivial pero es fácil de entender.

B) $d$ es arbitrario, $r = d − 1$ . Existe un producto cruzado en factores arbitrarios de dimensión d y (d-1). También se dice que existe un producto cruzado arbitrario (d-1) en cualquier dimensión. Simplemente tome el determinante de esos vectores (d-1) con los versores $(e_1,...,e_r)$ !

C) $d = 3, 7, r = 2$ . Existe un vector cruzado doble en las dimensiones 3 y 7. Por lo tanto, el producto cruzado "bilineal" solo puede existir con dos factores en 3D y 7D. El producto cruzado 3D es bien conocido, el producto cruzado 7D se puede encontrar (tanto en versiones de coordenadas como de coordenadas libres) en wikipedia.

D) $d = 8, r = 3$ . Existe un producto vectorial triple en ocho dimensiones. Allí, hay una cruz de 3 veces no trivial en 8D, es decir, puede construir un producto cruzado no trivial con 3 vectores en 8 dimensiones. No he visto una expresión coordinada para esto, pero creo que alguien lo hizo (sin embargo, podría escribir una publicación al respecto en mi blog, en un futuro cercano).

Esto sucede en la firma euclidiana, supongo que hay algunas variantes en las métricas pseudoeuclidianas (y quizás algunos subcasos no triviales; he oído hablar de un producto cruzado triple no trivial en 4D pero no puedo encontrar una referencia). Además, puedes encontrar una conclusión similar en el libro Clifford algebras and Spinors de P. Lounesto. El álgebra geométrica es muy útil cuando se maneja con este material vectorial, ya que los vectores son solo un grado particular de un polivector/cliffor/blade...

2da solución. El producto cruzado puede verse como el dual del producto exterior a través de $ia\times b=a\wedge b$ o $\star (a\wedge b)=a\times b$ . Por lo tanto, el producto de la cuña (producto exterior, un bivector) es mucho más fundamental ya que puede definirse en CUALQUIER dimensión del espacio-tiempo. Por supuesto, también puede identificar bivectores con matrices antisimétricas, pero eso es solo una realización del bivector. De hecho, bivector define rotaciones en un plano dado y esto es mucho más útil que pensar en términos de un vector. Los bivectores son los generadores de rotaciones en espacios N-dimensionales (incluso si se consideran campos multivectoriales o polivectoriales). Así, la segunda solución es considerar el producto exterior como la verdadera generalización (¡con dos factores!) del producto cruz en cualquier dimensión espaciotemporal.

3ra solución. Use formas k (vectores k) y renuncie a la condición 2-aria, suponiendo que se pueda definir una métrica. Si sigue queriendo un VECTOR, o 1 hoja, entonces use el operador estrella de Hodge:

V = ⋆ (V_{1} \land \dots \land V_{norte - 1})

$V=\star(V_1\wedge\cdots \wedge V_{N-1})$ Esto produce una forma 1 (1 vector) a partir de una forma N-1, vector N-1. De hecho, si tiene un vector k no simple no factorizable en un espacio N-dimensional, el operador estrella, con un solo término, produce una forma (Nk) o un vector (Nk) en general, como se dice en las referencias de otros usuarios.

No entiendo por qué tenemos que probar que existe un producto cruzado para cualquier $d > r$ - para cualquier conjunto de vectores con tamaño $r$ , se garantiza que cualquier matriz que tenga un espacio de columna definido por la base de este conjunto de vectores tenga un rango de como máximo $r$ , por lo que un espacio nulo de $d-r > 0$ . Dado que este espacio nulo siempre es no trivial, siempre se puede encontrar un vector que satisfaga los criterios para el producto vectorial.
¿Hay alguna versión que generalice la magnitud del resultado? Por ejemplo, la magnitud del producto vectorial en 3D y la ecuación a.x * b.y - a.y * b.xpara 2D generaliza esto para 2D y 3D, pero no sé cómo generalizar esto en 4D, 5D, etc.

Yuan Qiaochu · Answer 3

Bueno, depende de lo que entiendas por "producto vectorial vectorial". Hay una generalización para $n$ dimensiones que toma $n-1$ vectores como entrada y devuelve lo que se puede considerar como un vector ortogonal a todos ellos. Se generaliza a una operación que toma $k$ vectores como entrada donde $k \le n$ , pero entonces la salida no es algo así como un vector sino algo más complicado. Ver producto cuña .

Hay una generalización más específica para $7$ dimensiones que provienen de la multiplicación en los octoniones de la misma manera que se puede pensar que el producto vectorial proviene de la multiplicación en los cuaterniones .

El producto cruzado en el espacio euclidiano no es lo mismo que el producto cruzado en espacios pseudo-euclidianos, pero también se pueden definir con la ayuda de split-octornions y quaternions en 4D y 8D, tal como obtendríamos productos cruzados modificados en 3D y 7D. Me pregunto si podemos hacer eso en cualquier firma de espacio-tiempo (el mapa de arriba). El producto de cuña se define en cualquier dimensión del espacio-tiempo, pero no es lo mismo que el producto cruzado ya que el producto de cuña es asociativo...

emily · Answer 4

El producto cruz está muy relacionado con el concepto de cuaterniones. Las "identidades" de productos cruzados que operan en los vectores unitarios $\rm \mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}$ son esencialmente similares a las identidades en las unidades de cuaterniones (elementos básicos) $i,j,k$ .

Observe que los cuaterniones tienen cuatro unidades: $1, i, j, k$ , y el producto vectorial 3-D funciona en espacios vectoriales de dimensión 4-1 = 3.

El producto vectorial de siete dimensiones es análogo a los octoniones y tiene una definición similar que no deseo enumerar aquí.

Estas son las únicas dimensiones en las que existe un "producto cruzado" de este tipo. La relación entre la operación vectorial y la multiplicación de cuaterniones/octoniones es la razón subyacente. Los cuaterniones y los octoniones componen lo que se conoce como álgebra de división normada cerrada . Y las álgebras de división cerrada reales solo pueden tener dimensiones de 1,2,4,8.

Como menciona @QiaochuYuan, la generalización a otras dimensiones produce algo diferente a un vector: tal operación existe y se puede usar de manera similar, pero al final no tiene la amabilidad de recuperar un vector.

Gracias. Eso explica por qué solo hay un producto cruzado 3D y 7D, y cualquier otro patrón que vi se puede explicar con el producto cuña y el álgebra exterior del sistema.
¿Por qué no obtienes un vector al final? Se permite el uso de la función Cross[] de Mathematica sobre cualquier número de vectores, siempre que haya una dimensión más que el número de vectores. Jugando con el uso de matrices para encontrar el producto cruzado y usando Cross[], encontré que el resultado solo difería en factores de -1 ocasionalmente.
Porque Mathematica implementa la estrella de Hodge, o al menos algo similar. Solo para las dimensiones 3 y 7 tiene un producto cruzado "natural" que produce un vector.
¿Los cuaterniones escalan más allá de 8? ¿Como 16, 32, 64, 128...?
@CoryG: puede crear estructuras análogas con dimensiones> 8, pero se muestra que no son álgebras de división normadas cerradas, lo que significa que la "amabilidad" que obtiene de esa estructura desaparece.

GeoffDS · Answer 5

Vea mi respuesta aquí para ver un ejemplo de una generalización del producto cruzado a 4 dimensiones. Note, esta generalización funciona en $n$ -dimensiones y siempre devuelve un vector ortogonal a todos $n-1$ vectores que utiliza. Y lo calculas casi exactamente de la misma manera que calculas el producto cruzado normal, nada complicado. Para obtener el producto cruz de $n-1$ vectores de dimensión $n$ , simplemente crea una matriz que tiene una fila superior con entradas $i_1, i_2, \ldots, i_n$ , que generalizan la normalidad $i, j, k$ en 3 dimensiones. Entonces, tu siguiente $n-1$ las filas son las $n-1$ vectores de dimensión $n$ . Ahora, toma el determinante y obtendrás tu $n$ -resultado dimensional.

Referencia: Aprendí sobre esto cuando tomé un cuarto semestre de cálculo en la universidad, donde usamos Vector Calculus de Susan Jane Colley. Se introduce en los ejercicios de la Sección 1.6. Uno de los ejercicios es probar que el nuevo vector es ortogonal a los anteriores.

Juan F Belantoni · Answer 6

La conjetura de Michael Hardy definitivamente no es basura.

Conozco al menos dos definiciones que se aplican a más de tres dimensiones. Sin embargo, para ambas definiciones, el producto vectorial resultante es un subespacio vectorial en lugar de un vector. (Ver Notas 1 y 2)

Como señala el Sr. Hardy, en tres dimensiones, el producto cruzado convencional de los vectores a y b es un vector normal a a y b con longitud (ab) sen (Theta), donde Theta es el ángulo entre a y b. Tiene la propiedad de que su producto interior (axb)*c con cualquier vector c es el volumen del paralelepípedo de aristas a, b y c. El vector c está definido de forma única y complementa el espacio {a, b} (Nota 3).

Sin embargo, en más de tres dimensiones, la normal a dos vectores no es única. Para dimensiones n > 3, el producto vectorial puede definirse como el subespacio n-2 dimensional normal a los dos vectores. Alternativamente, el producto vectorial puede definirse como el subespacio dimensional nm normal a m vectores, m>2. Esta última posibilidad se persigue aquí.

Sean los vectores w1, w2, w3, … , wm un subespacio m-dimensional Sm en el espacio vectorial n-dimensional V, donde m = 2, 3, …, n-1. El producto vectorial de los vectores w1, w2, w3, … , wm se define entonces como cm:

        cm =  w1 x w2 x … x wm  

           =  |s1||s2| … |sm| Cn-m,

dónde

       sm  =   wm  -  [Sm-1]*wm     

        Sm =  { s1, s2, … , sm}.

Aquí Cn-m es el espacio complementario (Nota 4) de Sm en V, definido como todos los vectores normales a Sm. El vector sm es normal a Sm-1 y [Sm-1]*wm es la proyección(5) de wm sobre Sm-1. El ángulo Thetam entre wm y Sm-1*wm viene dado por Sm= |wm||sm|(Thetam), donde |sm| y |wm| son las longitudes de los vectores sm y wm.

Si m = n-1 entonces Cn-m = C1, un vector normal a los otros n-1 vectores. Si m = n, el producto |s1||s2| … |sm|es el volumen del paralelepípedo de aristas w1, w2, w3, … , wm. Esta definición concuerda con la convencional para n = 2, 3 pero, a diferencia de la definición convencional, produce un vector nulo si cualquiera de los w1, w2, w3, …, wm son dependientes.

En ambas definiciones, el producto vectorial es un subespacio en lugar de un vector. Todavía no he explorado la primera definición o la relación de cualquiera con la estrella de Hodge.

NOTAS: (1) Como referencia, el subespacio de m vectores (no paralelos) en un espacio n-dimensional más grande es solo la colección de puntos que se pueden alcanzar al sumar cualquier combinación de m vectores con coeficientes multiplicativos. Cualquier m vector no paralelo "abarca" un subespacio m-dimensional, m<=n. (2) En lo anterior, los sufijos m y n son números enteros, los caracteres en minúsculas son vectores y los caracteres en mayúsculas son subespacios; la notación {x, y} indica el espacio ocupado por los vectores x e y; [S] indica un conjunto de vectores ortonormales en el espacio S; el símbolo * indica producto interior. (3) en el sentido de que cualquier punto en V puede ser alcanzado por una combinación lineal de a, b y c. (4) Halmos, Paul R., Espacios vectoriales de dimensión finita, segunda edición, 1958, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, NJ, p29. (5) P es una proyección si PPx = Px para cualquier vector x. (ibid. p73.) Se puede demostrar que (Px)*(x – Px) = 0, de modo que x – Px es perpendicular a Px.

Stéphane Laurent · Answer 7

Puede definir el producto vectorial ternario como el determinante

{\vec{v}}_{1} \times {\vec{v}}_{2} \times {\vec{v}}_{3} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & \vec{yo} \\ v_{1 X} & v_{1 y} & v_{1 z} & v_{1 t} \\ v_{2 X} & v_{2 y} & v_{2 z} & v_{2 t} \\ v_{3 X} & v_{3 y} & v_{3 z} & v_{3 t} \end{matrix} |

$\vec v_1 \times \vec v_2 \times \vec v_3 = \left\vert\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k & \vec l \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} & v_{1t} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} & v_{2t} \\ v_{3x} & v_{3y} & v_{3z} & v_{3t} \end{matrix}\right\vert$ que tienes que desarrollar a lo largo de la primera fila.

Si tienes una superficie paramétrica $s(u,v,w) \to \mathbb{R}^4$ entonces el producto cruz ternario $\frac{\partial s}{\partial u}(u,v,w) \times \frac{\partial s}{\partial v}(u,v,w) \times \frac{\partial s}{\partial w}(u,v,w)$ da lo normal en $s(u,v,w)$ .

¿El producto cruzado vectorial solo está definido para 3D?

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