En un espacio plano, donde funciona la relatividad especial, un cuerpo que viaja solo puede volver al mismo punto si aplicamos algún tipo de aceleración al cuerpo.
Entonces, la paradoja de los gemelos no es una paradoja porque un cuerpo que viaja y regresa al mismo punto donde comenzó no es una referencia inercial.
Pero luego tenemos la relatividad general, que establece que la masa (energía) curva el espacio-tiempo. Entonces, cuando un fotón cambia su trayectoria al pasar cerca del sol, en realidad se está moviendo en línea recta, pero en un espacio-tiempo curvo.
¿Ahora podemos crear una nueva versión de la paradoja de los gemelos, donde la nave espacial que transporta a uno de los gemelos usa la curvatura de algún cuerpo astronómico (como Júpiter, el sol o un agujero negro) para volver al mismo punto?
En ese caso, ¿cuál gemelo será mayor?
¿Cómo resolver la paradoja en este contexto?
En ese caso, ¿cuál gemelo será mayor?
Cada gemelo experimenta un momento adecuado , donde la integral se toma a lo largo de su línea de mundo. En general, esto es todo lo que realmente podemos decir. Sin embargo, en el caso de un espaciotiempo estático, puede definir un potencial gravitacional y luego analizar el tiempo propio en términos de dos términos, un término cinético (relativista especial ) y uno gravitatorio (proporcional al potencial).
¿Cómo resolver la paradoja en este contexto?
La paradoja SR ocurre si asumimos, erróneamente, que existe simetría entre los gemelos. La paradoja SR se resuelve porque las líneas del mundo son diferentes. La simetría falla porque son distinguibles: solo uno de ellos es inercial.
La versión GR que ha planteado se resuelve de la misma manera: las líneas del mundo son distinguibles (aunque ambas son inerciales), por lo que integrando a lo largo de ellos da diferentes respuestas. Por ejemplo, uno podría orbitar la tierra 47 veces en una órbita elíptica, mientras que el otro la orbita 10 veces en una órbita circular. Las órbitas se cruzan al principio y al final.
Primero, no hay nada sorprendente o paradójico en dos caminos geodésicos desde a teniendo diferentes longitudes. Desde un punto en el ecuador, puedes viajar 1/4 de la vuelta al mundo hasta el Polo Norte, mientras que tu gemelo viaja 3/4 de la vuelta al mundo hasta el Polo Norte. Aunque ambos comiencen y se detengan en los mismos lugares, sus odómetros muestran diferentes longitudes para su viaje.
De la misma manera, si dos viajeros toman caminos geodésicos diferentes de un evento a otro, no hay razón para que esos dos caminos tengan la misma longitud. Un reloj es un odómetro de espacio-tiempo, por lo que no hay razón para que sus relojes muestren el mismo tiempo transcurrido. ¿Qué gemelo es mayor? El que siguió el camino más largo a través del espacio-tiempo. Todavía no hay paradoja.
Se ha sugerido en los comentarios que podría haber una paradoja en el "hecho" de que el reloj de Bob siempre funciona lento en el marco de referencia (fijo) de Alice y viceversa. Pero estamos en un espacio-tiempo curvo, por lo que no hay marcos de referencia globales.
Así que me pregunto dónde se supone que está la supuesta "paradoja".
Paradoja, sustantivo : una declaración o proposición aparentemente absurda o autocontradictoria que, cuando se investiga o explica, puede resultar bien fundada o verdadera.
La Paradoja de los Gemelos es ciertamente eso.
Antes de incorporar la relatividad general (GR) a la mezcla, es importante comprender exactamente cuál es la paradoja, ya que es mucho más que una simple asimetría entre las líneas de mundo de los gemelos.
En la formulación más simple del problema (y dado que es un experimento mental: ¿por qué complicarlo?), el gemelo A se queda en casa en su piscina estacionaria, entrenando, mientras que el gemelo B sale corriendo casi a la velocidad de la luz. (Estoy usando triatletas por el perfil del OP).
Durante el viaje de maratón, el gemelo A ve al gemelo B envejecer más lentamente. Mientras tanto, el gemelo B ve al gemelo A envejecer más lentamente. Esto ya es una paradoja para algunos, pero se resuelve fácilmente con la transformación de Lorentz.
Ahora viene la parte más importante de "transición" del entrenamiento: carrera a bicicleta. Twin B es bueno, puede hacerlo en 0 segundos. Así se dirige a casa en su Zipp, casi a la velocidad de la luz. Tenga en cuenta que el gemelo A mira y está de acuerdo: wow: ese intercambio tomó 0 segundos; de hecho, todos los observadores están de acuerdo, fue instantáneo.
En el camino a casa, el gemelo A ve al gemelo B envejecer más lentamente, y viceversa; sin embargo, cuando se encuentran, el gemelo B es mucho más joven.
Ahora eso es una paradoja: si siempre ven al otro envejecer más lentamente:
(1) ¿cómo puede ser eso en cualquier caso?
(2) ¿Por qué el gemelo B envejeció menos?
Bueno, la gente dice que es una asimetría o que hay aceleración. Todo cierto: pero el tiempo de transición transcurrido fue de 0 segundos en cada cuadro. ¿Cómo pueden los cero segundos en cada cuadro dar cuenta de los años de diferencia entre los cuadros?
La resolución viene en la relatividad de la simultaneidad: cuando el gemelo B hace la transición, su definición de "ahora" en la Tierra da un gran salto hacia adelante: años. Dado que todo esto está ocurriendo fuera de su cono de luz, no tiene efecto en él: se da la vuelta y "calcula" que lejos de su cono de luz, su hermano ahora es mucho mayor, y cuando llega a casa, descubre que tenía razón. .
En resumen: A y B siempre se ven envejecer más lentamente. Cuando B se da la vuelta, A dice que su reloj avanza 0 segundos, y dice que el reloj de B avanza 0 segundos (aunque B está muy lejos de su cono de luz, y solo se entera de esto más tarde). Mientras tanto, B dice que su reloj avanza cero segundos, pero calcula que el reloj de A ha avanzado años. Ahora, para B, esto puede parecer completamente una abstracción, muy parecida a la paradoja de Andrómeda: cuando haces un giro en U en la autopista, "ahora" en Andrómeda puede cambiar años, pero ¿qué significa eso para ti?: nada.
El uso del espacio-tiempo curvo reduce las fuerzas g durante la transición de correr a andar en bicicleta no tiene ningún efecto sobre la paradoja.
Consideremos una versión un poco más realista en la que la inversión del curso ocurre a una aceleración alta pero finita para evitar discontinuidades no físicas.
Entonces, ¿cómo se logra la inversión de curso por el hermano en movimiento? Realmente solo hay una opción: vuela en una semiórbita parabólica alrededor de un cuerpo extremadamente pesado.
Eso significa que desciende a un pozo gravitacional cerca del periápside, y debido a la dilatación del tiempo gravitacional, su tiempo se ralentiza y ve que su hermano estático envejece rápidamente.
Tenga en cuenta que en la relatividad especial cuando acelera, ve que el tiempo fluye más rápido delante de usted en la dirección de la aceleración, que es como el hermano en movimiento ve envejecer al hermano estático durante la inversión del curso. Y dado que la relatividad general se define a partir de la relatividad especial por la equivalencia entre el campo gravitatorio uniforme y la aceleración del marco de referencia, es lógico esperar que la dilatación del tiempo sea la misma en ambos casos.
david z
marco