¿Tiene el tiempo coordinado un significado físico?

El tiempo propio representa el envejecimiento físico de una partícula masiva, y por esto es el único tiempo que debe tenerse en cuenta para la descripción física de una partícula.

Pero el tiempo coordinado no carece de significado físico: no habría detección de eventos sin el tiempo coordinado. Cuando dos partículas están viajando por el mismo lugar en el espacio, su propio tiempo no proporcionará la información si sucedió simultáneamente, es decir, que se encontraron, es decir, que hay un evento. Para esta información necesitas el diagrama de Minkowski de al menos una de ambas partículas, y de paso el diagrama de Minkowski de cualquier observador incluye las coordenadas de ambas partículas, dando la información de si se encontraron o no.

Los diagramas de Minkowski muestran el tiempo de coordenadas de todas las partículas (con diferentes simultaneidades). Por el contrario, no es posible representar el tiempo propio de dos marcos diferentes en un diagrama.

El tiempo coordinado es simplemente una parametrización, solo el tiempo propio es físico.

Sin embargo, para cada curva temporal (no necesariamente una geodésica) puede elegir un conjunto de coordenadas tal que el tiempo adecuado sea igual al tiempo coordinado ( prueba ). Estas se denominan coordenadas comóviles y se usan a menudo en cosmología.

La coordenada de tiempo en un marco comóvil es física por definición, porque se evalúa en el tiempo propio del observador. Cuando citamos la edad del universo, estamos usando exactamente el tiempo de comovimiento de un observador que viaja con la expansión desde el Big Bang.

La declaración confusa que citó de Wikipedia es producto de una mala convención de nomenclatura. Si definimos el marco de referencia baricéntrico como el marco comóvil con el sol, entonces el tiempo de coordenadas es precisamente el tiempo medido en un reloj en el sol.

Por razones que desconozco, los astrónomos definen el marco de referencia baricéntrico de manera diferente, ¡posiblemente porque facilita los cálculos! Pero siempre que haya un estándar en el que todos estén de acuerdo, la elección del marco realmente no importa.

Finalmente, creo que sus notas de clase son engañosas. Tomemos su ejemplo de corrimiento al rojo gravitacional. El punto de la relatividad general es que$d\tau_1\neq d\tau_2$cuando miras el mismo evento desde diferentes marcos! Las leyes de la física en cada fotograma deben ser las mismas, pero las medidas del tiempo adecuado pueden diferir porque son un avatar de tu perspectiva.

Aquí hay un ejemplo específico ( referencia ). Considere una transición atómica cerca de un agujero negro. Observador$A$descansa en relación con el átomo, infinitamente lejos del agujero negro y mide$d\tau_A$. Observador$B$es comoviva con el átomo y mide$d\tau_B$.

Para hacer un cálculo debemos elegir algún sistema de coordenadas. Elijamos las coordenadas de Schwarzchild, que se definen como las coordenadas comóviles del observador en el infinito. Por lo tanto tenemos

Desde observar$A$está en reposo con respecto al átomo,$dx^i$debe ser cero para el observador$B$. Por lo tanto, usando la métrica de Schwarchild en coordenadas de Schwarzchild

dónde$r_s$es el radio de Schwarzchild, y$r$la distancia del átomo al centro del agujero negro. Podemos ver inmediatamente que

lo que corresponde a un desplazamiento hacia el rojo de la frecuencia a medida que el fotón emitido se mueve hacia afuera contra el campo gravitacional.

el significado de "$t$" que aparece en intervalos de espacio-tiempo o métricas en relatividad general. Concluí que$t$era solo una cosa matemática que permite etiquetar la "variedad de espacio-tiempo"

En primer lugar, las coordenadas simplemente proporcionan un etiquetado distinto ("uno a uno") de los elementos de un conjunto dado$\mathcal S$por elementos de$\mathbb R^n$(es decir, por$n$-tuplas de números reales, para algún número natural adecuado$n$); y en particular de eventos distintos (es decir, de un conjunto de " espacio-tiempo " particular$\mathcal S$bajo consideración). Formalmente, la asignación de coordenadas es (simplemente) un mapa:

$c~:~ \mathcal S ~ \rightarrow ~ \mathbb R^n$.

Dependiendo de otras relaciones entre los elementos del conjunto$\mathcal S$(relaciones geométricas entre eventos bajo consideración) puede haber demandas adicionales en las asignaciones de coordenadas:

• si elementos (o subconjuntos) de conjunto$\mathcal S$se pueden identificar cuáles están ordenados (como una secuencia ) luego de una asignación de coordenadas dada$c$puede o no ser monotónico , en uno o en varios componentes de tupla coordinada, con respecto al "orden obvio de los números reales" ;

• si subconjuntos de conjunto$\mathcal S$pueden identificarse los que constituyen un espacio topológico$T$entonces una asignación de coordenadas dada$c$puede o no ser compatible con$T$en el sentido de un homeomorfismo con respecto a la "topología obvia de$n$-tuplas" . Así, el par "$(~\mathcal S, T~)$"puede ser o no una variedad ; y si es así, una asignación de coordenadas dada$c$puede o no ser continua .

• si hay una métrica (adecuadamente generalizada)$s$disponible para conjunto$\mathcal S$entonces una asignación de coordenadas dada$c$puede o no ser compatible en el sentido de$s$siendo diferenciable o incluso afín , por separado para cualquier componente de tupla de coordenadas (por ejemplo, para "$t$", para "$r$", o por "$\phi$etc.) con respecto a la "métrica obvia de los números reales" .

En la relatividad general, las coordenadas se asignan a eventos (generalmente) diferenciables, o incluso uniformes , wrt. los (dados) intervalos de espacio-tiempo$s^2$; dentro de cualquier parche de coordenadas suficientemente "pequeño".

Además, el nombre "$t$" generalmente no se da a cualquier componente de tupla de coordenadas, sino (solo, si corresponde) a uno que es monótono con respecto a la secuencia de elementos de curvas similares al tiempo, y monótono con respecto a la secuencia de hipersuperficies similares al espacio, e incluso afines con respecto a las duraciones$\tau A_{\circ P}^{\circ Q} \equiv \sqrt{-s^2[~\varepsilon_{AP}, \varepsilon_{AQ}~]}$de participantes adecuados$A$(pero, lo que es más importante, por lo tanto no afines colectivamente a las duraciones de todos y cada uno de los participantes).

1) $\frac{dt}{d\tau} = \gamma.$Si$t$no es físico [...]

Bueno, en el contexto en el que se deriva esta ecuación,$t$no es cualquier asignación de coordenadas (arbitraria, uno a uno, pero " no física "). Con una notación más explícita y apropiada, la ecuación aparece como

dónde

• $P$y$Q$denotan dos participantes adecuados en reposo entre sí
• "$P_{\circ A}$" denota participante$P$indicación de haber sido cumplido y aprobado por el participante$A$, y
• "$P^{\circledS Q \circ A}$" denota participante$P$indicación simultánea al participante$Q$indicación de haber sido cumplido y aprobado por el participante$A$.

2) Considere una transición atómica en la superficie de la tierra, en [...]. el intervalo de tiempo

... digamos: la duración de cualquier período de oscilación ...

medido por un observador estacionario cerca del átomo viene dado por:$d\tau_1 = [...]$

... donde, por supuesto, es completamente irrelevante para la duración de cualquier período de oscilación del átomo bajo consideración (en la superficie de la tierra) si y cómo podría etiquetarse con coordenadas.

Imaginemos ahora la misma transición atómica pero, digamos, a 100 km sobre la superficie de la tierra a […]. El intervalo de tiempo [duración del período de oscilación] medido por un observador cerca del átomo es:$d\tau_2 = [...]$.

Dado que la física de las transiciones atómicas es la misma [para estos dos átomos separados], entonces uno debería tener:$d\tau_1 = d\tau_2$.

Correcto: eso es lo que queremos decir con que las duraciones del período de oscilación de estos dos átomos son iguales ; o para abreviar: estos dos átomos son iguales
(en términos de la medida que es más relevante aquí y, por supuesto, independientemente de cualquier rociado particular de estos átomos con etiquetas de coordenadas).

Pero, ¿cuál es el significado físico de la cantidad$\frac{dx^0_1}{dx^0_1} = \frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$?

En la medida en que
- las duraciones del período de oscilación de los dos átomos sean constantes por separado, y - las coordenadas se asignen de manera que ambos$g_{00}(x_1)$y$g_{00}(x_2)$son constantes

entonces el " significado físico " de las coordenadas es que son afines con respecto a las duraciones de cualquiera de los átomos, respectivamente.

Pero el hecho adicional, dado o medible de que$d\tau_1 = d\tau_2$no restringe más el valor de$\frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$.

En mi opinión, la única forma de calcular el corrimiento al rojo gravitatorio es comparar el intervalo adecuado medido por un observador en$x_1$y uno en$x_2$para una transición atómica que ocurre en$x_1$.

En mi opinión, la comparación cronométrica más importante y relevante es entre duraciones de ping (ver mi respuesta allí: "Un tren acelerando ...", PSE/q/38377 ;
especialmente para pares de observadores cuyas duraciones de ping mutuas son (por separado) constantes, es decir, que son "cronométricamente rígidos entre sí".

Solo en referencia a las duraciones de ping desiguales

• de un observador " en la superficie de la tierra " (desde haber dado una indicación de señal, hasta haber visto que el acompañante "a 100 km sobre la superficie de la tierra " había sentido esta indicación de señal), y

• de un observador " a 100 km sobre la superficie de la tierra " (desde haber dado una indicación de señal, hasta haber visto que el acompañante " en la superficie de la tierra " había sentido esta indicación de señal),

¿Podrían incluso determinar de manera concluyente que sus átomos separados tenían duraciones de período de oscilación iguales, en el (los) ensayo (s) en consideración?

En particular: el número de períodos de oscilación que se contaron " en la superficie de la tierra " en el transcurso de un "período de ping (100 km hacia arriba y hacia atrás)"
no es igual al número de períodos de oscilación que se contaron " 100 km sobre la superficie de la tierra " en el transcurso de un "período de ping (todo el camino hacia abajo y hacia atrás)".

En general, las coordenadas utilizadas para escribir una métrica arbitraria deben verse como etiquetas de puntos de espacio-tiempo. Algunas coordenadas pueden estar relacionadas con cosas familiares, pero algunas no lo serán (al menos no de una manera simple), así que cuidado con tratar de encontrar demasiada familiaridad en ellas.

Ahora, consideremos el espacio-tiempo de Minkowski y el significado de la coordenada$t$de un observador inercial. Que hace$t$¿significar? bueno, es solo el tiempo dado por los relojes que están estacionarios con respecto a ti.

Ahora, si usted espera que este tiempo dado por los relojes estacionarios con respecto a usted sea una forma fiel de ordenar los eventos en todas partes en el espacio-tiempo, se sentirá decepcionado, y es fácil ver por qué. Puede ver fácilmente que dos observadores inerciales pueden estar en desacuerdo sobre la$\Delta{}t$de dos eventos. Solo considere dos eventos cualesquiera y usando una transformación general de Lorentz y yendo a otro cuadro verá que$\Delta{}t$puede cambiar. Si estos eventos están separados como en el espacio, diferentes observadores pueden incluso estar en desacuerdo sobre el signo de$\Delta{}t$.

Entonces, para algunos observadores es como si un evento sucediera primero y luego el otro, y para otros observadores es lo contrario. Entonces, ¿qué evento sucedió primero? la respuesta es que esta pregunta realmente no tiene sentido. La hora ES local. El tiempo que da un reloj sólo tiene sentido para quien lo lleva en el punto en que lo lleva. Este es el sentido en el que la relatividad mata el concepto de tiempo absoluto. Hacer cualquier pregunta con la palabra "mientras" no tiene sentido.

La coordenada de Lorentz$t$, (y también el resto$x$,$y$,$z$) simplemente decirte cómo estás causalmente conectado con el resto de puntos del espacio-tiempo, cómo se te aparece el universo, o mejor dicho, cómo te pueden afectar los acontecimientos en el resto de los puntos del espacio-tiempo. Por ejemplo, si para algún observador dos eventos son simultáneos ($\Delta{}t=0$) y separados espacialmente por igual del observador, la información de ambos eventos (transmitida a través de fotones, por ejemplo) llegará al observador al mismo tiempo. No obstante, otro observador de Lorentz sabrá de uno antes que del otro (y como se argumentó anteriormente, diferentes observadores de Lorentz pueden incluso estar en desacuerdo sobre cuál llegó primero, ¡aunque todos estos observadores estén ubicados en el mismo punto! (Por supuesto, dado que estos Lorentz Los observadores tienen diferente velocidad, no permanecerán en el mismo punto esperando que llegue la señal, por lo que también se debe considerar el efecto del movimiento)). Los diferentes observadores de Lorentz están simplemente conectados causalmente de diferentes maneras con el resto de los eventos.

Ahora, si quieres comparar los tiempos transcurridos de diferentes observadores (u objetos o lo que sea) que estuvieron juntos una vez y se reencuentran después de un tiempo, solo tienes que comparar los tiempos adecuados, es decir, el tiempo dado por los relojes que han estado con ellos. todo el tiempo.

El tiempo propio es el tiempo medido por un reloj que viaja a lo largo de un camino de inercia. El tiempo coordinado se puede considerar como el eje del tiempo en un diagrama de espacio-tiempo; entonces, como ejemplo, se puede pensar en el tiempo de coordenadas como el tiempo medido por un observador externo del reloj. Estos tiempos están destinados a ser comparados en relatividad, ya que el tiempo pasa a diferentes velocidades para diferentes caminos de inercia. Si dos objetos se mueven conjuntamente, entonces los dos tiempos son iguales. ¡Espero que esto ayude, buena suerte!