¿Por qué dτdτd\tau en lugar de dtdtdt denota el momento adecuado? ¿Es una definición?

Hay dos diferentes$dt$está aquí. Uno,$dt_{you}$es el intervalo de tiempo medido en su reloj mientras el otro$dt_{me}$es el intervalo de tiempo medido en mi reloj.

En tus coordenadas, es decir, tu marco de reposo, estás en reposo en el origen y tu espacio-tiempo se ve localmente como un espacio-tiempo plano. Entonces en tus coordenadas$g_{00}=1$y el tiempo que mides en tu reloj es igual al tiempo propio:

$$d\tau = dt_{you} \tag{1}$$

En mis coordenadas, estás estacionario (ambos estamos de acuerdo en que estás estacionario), pero en mis coordenadas, el espacio-tiempo a tu alrededor está curvado, por lo que$g_{00}$ya no es uno. Entonces tengo que escribir:

$$d\tau^2 = g_{00} dt_{me}^2 \tag{2}$$

Pero el tiempo adecuado es un invariante, es decir, tanto usted como yo debemos estar de acuerdo en su valor, por lo que el$d\tau$en las ecuaciones (1) y (2) debe tener el mismo valor. Eso significa que podemos igualar las dos ecuaciones para obtener:

$$dt_{you} = dt_{me} \sqrt{g_{00}}$$

Y así es como obtenemos la dilatación de tiempo relativa entre nosotros, es decir, relaciona los intervalos de tiempo medidos por usted con el mismo intervalo de tiempo medido por mí. Sospecho que la confusión ha surgido porque en tu marco de descanso los intervalos de tiempo medidos por ti son iguales al tiempo propio.

En GR, las curvas se describen mediante un parámetro$\tau$:$x^{\mu}(\tau)$que traza un camino en el mundo real más generalmente llamado la línea del mundo.
Pero, cualquier parámetro es suficiente para describir esta curva, uno puede usar otro parámetro$\lambda$que se puede relacionar con el primero por$\lambda(\tau)$.
Lo que llamamos tiempo adecuado$\tau$es el parámetro para la línea de palabras tal que$u^2 = u^\mu u_\mu = c^2$para una geodésica temporal (partícula masiva). Donde la 4-velocidad se define como$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$.
Así que en tu ejemplo tendríamos$ds^2 = g_{00} c^2 dt^2$Lo que significa que

$$\begin{equation} u^2 = g_{00} u^0 u^0 = g_{00} \left( \frac{cdt}{d\tau} \right)^2 = c^2 \end{equation}$$ Sólo si
$$\begin{align} g_{00} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 &= 1 \\ \Rightarrow \frac{d\tau}{dt} &= \sqrt{g_{00}} \\ \Rightarrow d\tau &= \sqrt{g_{00}}dt \end{align}$$