Para una métrica de entrega en GR, ¿cómo sabemos a qué observador se refiere la métrica?

Una métrica no necesita referirse a un observador en absoluto.

Cuando hablamos del observador de Schwarzschild, nos referimos al observador para quien las variables en la métrica tienen un significado simple, por lo general, tienen el mismo significado que en el espacio-tiempo plano. Entonces, si compara la métrica de Schwarzschild:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}}+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

con la métrica del espacio plano:

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

entonces obviamente coinciden cuando$r_s/r \rightarrow 0$yo como$r \rightarrow \infty$.

La métrica GP utiliza el Schwarzschild$r$,$\theta$y$\phi$, pero la coordenada de tiempo es el tiempo medido por un observador que cae libremente desde el infinito:

$$ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt_r^2+2\sqrt\frac{2M}{r}dt_rdr+dr^2 + d\Omega^2$$

Entonces no hay un observador que observe las variables métricas directamente, aunque una vez más si tomamos las$r \rightarrow \infty$límite se convierte en la métrica del espacio plano, se podría argumentar que el observador GP está en el infinito.

Sin embargo, tome la métrica Kruskal-Szekeres, que usa las coordenadas un tanto abstractas$u$y$v$. Aunque$u$es espacial y$v$es temporal no hay forma de observador a quien$du$coincide con lo que medirían con una regla o$dv$lo que medirían con un reloj.

Es un principio importante de GR que podemos usar cualquier sistema de coordenadas, por lo que podemos elegir coordenadas que simplifican nuestros cálculos y no necesitamos preocuparnos si corresponden a alguna medida física que un observador podría hacer.

No hay un observador correspondiente, en general. En el contexto de los observadores acelerados o del espacio-tiempo curvo, solo deberíamos pensar en los observadores locales en general, así que imagina un enjambre completo de ellos llenando el espacio-tiempo. Pero aún así, no hay observadores correspondientes ( plural) en general. Las coordenadas son arbitrarias y no es necesario que tengan "un significado métrico simple", como se dio cuenta Einstein desde el principio, es decir, no (directamente) la medida de los observadores.

Dicho esto, podemos argumentar caso por caso. Por ejemplo, al derivar su "métrica de radar" para medir la distancia espacial, Landau y Lifshitz suponen observadores que se mueven con un sistema de coordenadas dado, es decir, a constante$x^1$,$x^2$, y$x^3$-coordenadas, si esto está permitido. Para su ejemplo de las coordenadas de Gullstrand-Painleve, de hecho son muy adecuadas para los observadores que caen libremente "desde el reposo en el infinito", por así decirlo, porque estos observadores se están moviendo en$\theta$y$\phi$, la coordenada de tiempo es su propio tiempo, y el$r$-coordenada es la distancia espacial medida en la dirección radial. (Mi último punto es el menos conocido, pero véase Exploring Black Holes de Taylor & Wheeler ).