Tiempo propio en Relatividad General y cambio de coordenadas

Question

Tiempo propio en Relatividad General y cambio de coordenadas

samario28

Dejar $M$ sea la variedad del espacio-tiempo y consideremos un sistema de coordenadas local

\begin{aligned} φ_{i} : {tu}_{i} & \subset METRO \to φ_{i} ({tu}_{i}) \subset R^{norte}, \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_i:\,U_i&\subset M\to \varphi_i(U_i)\subset \mathbb R^n, \end{align}$ que se asocia

p \in U_{i} \to φ_{i} (p) \equiv x_{i}^{μ} .

$p\in U_i\to \varphi_i(p)\equiv x_i^\mu.$

Esta es una forma de describir el evento del espacio-tiempo. $p$ con un conjunto de números: un sistema de coordenadas local diferente $\varphi_j$ definido en $U_j$ describe el mismo evento con diferentes números $x'^\mu$ , que debe estar relacionado con $x_i^\mu$ en la intersección $U_i\cap U_j$ por $x'^\mu=\varphi_j\circ\varphi^{-1}_i(x^\mu)$ .

Según tengo entendido, los sistemas de coordenadas locales son solo observadores, que ven el mismo evento desde diferentes puntos de vista y los describen con números diferentes.

Dada una métrica pseudoriemanniana $g$ , se puede expresar con dos sistemas de coordenadas diferentes como

\begin{aligned} gramo & = {gramo}_{m v} (X) d X^{m} d X^{v} \\ = {gramo}_{m v}^{'} (X^{'}) d X^{' m} d X^{' v}, \end{aligned}

$\begin{align}g&=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu\\ &=g'_{\mu\nu}(x')dx'^\mu dx'^\nu,\end{align}$ de donde es posible derivar la regla de transformación de los coeficientes

g_{μ ν} .

$g_{\mu\nu}.$

A menudo se dice que el tiempo adecuado de una partícula en movimiento lo da un OBSERVADOR que se sienta en la partícula, que ve la partícula en reposo. De este modo

d τ^{2} = gramo = {gramo}_{m v} (X) d X^{m} d X^{v} .

$d\tau^2=g=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu.$ ¿Es el tiempo propio un sistema de coordenadas, ya que es un observador?

Si es así, LHS debería estar relacionado con RHS a través de algún cambio de coordenadas que, sin embargo, parece bastante singular, ya que no parece invertible. ¿Me equivoco?
Además, me cuesta dar sentido a un observador (es decir, un sistema de coordenadas) que cambia punto por punto a medida que seguimos la trayectoria de la partícula (porque punto por punto las coordenadas espaciales que describen la partícula son cero), en el contexto de la geometría diferencial.
En otras palabras, ¿el marco de referencia que se encuentra sobre la partícula en movimiento es un sistema de coordenadas único?

Me gustaría entender los puntos anteriores desde un punto de vista matemático.

Respuestas (1)

Tiempo propio en Relatividad General y cambio de coordenadas

Slereah · Answer 1

Desafortunadamente, la relación entre observadores y coordenadas no es tan simple. Esto es cierto en relatividad especial para observadores inerciales (hasta cierto punto), pero en un caso más general, la relación entre los dos es más sutil.

Un observador es, en términos generales, una curva temporal orientada al futuro. $\gamma$ . A veces también les damos atributos adicionales para reflejar cómo podría funcionar un aparato físico real: un reloj a bordo $h$ (esto se debe a que el tiempo que mide un observador puede no ser necesariamente el tiempo adecuado), que es una función creciente monótona desde los puntos de la curva hasta $\mathbb{R}$ :

h : I metro (γ) \to R

$h : \mathrm{Im}(\gamma) \to \mathbb{R}$

Esto se usa principalmente si estamos pensando en experimentos reales, generalmente $h$ simplemente reflejará el momento adecuado. Un observador también puede tener un marco local $e_a$ , que son tres direcciones similares al espacio linealmente independientes, de modo que podemos hacer mediciones de direcciones como ángulos incidentes y demás.

Ahora bien, como un observador es una curva simple, no puede ser equivalente a un sistema de coordenadas, porque un observador realmente no puede medir nada más allá de su entorno inmediato. Una razón simple por la que no es la siguiente: considere un sistema de coordenadas adaptado a un observador y luego realice un difeomorfismo en él que sea la identidad alrededor del observador pero no fuera de su región. Desde el punto de vista del observador, no habrá diferencia.

Entonces, ¿de qué manera podemos asociar un observador a un sistema de coordenadas? La forma más sencilla en que esto suele hacerse es que su observador puede ser una línea de coordenadas espaciales constantes, y su coordenada en la dirección temporal puede ser equivalente a la hora propiamente dicha (o su reloj a bordo, si así lo desea). Además, si nuestro marco local no es demasiado loco, también podemos hacer que el marco local esté orientado en la misma dirección que la base de coordenadas. Si el observador es una geodésica, esas son las coordenadas de Fermi . Hay procesos más generales que puede usar para observadores más arbitrarios, pero esos son los más comunes.

Las coordenadas de Fermi y otras coordenadas de sus tipos (como las coordenadas de radar) son siempre de naturaleza local y algo arbitrarias. Por lo general, coincidirán un poco cerca del observador, pero pueden comenzar a divergir a medida que se aleja, y generalmente hay un punto más allá del cual dejan de ser válidos por completo (como en presencia de un lugar de corte ) .

Es posible tener un método mejor para construir coordenadas "físicamente" si tiene un observador que atraviesa cada punto del espacio, pero ese es un proceso más complejo.

Por otro lado, ¿puedes obtener un observador al revés, comenzando con algunas coordenadas? La respuesta al principio va a ser obviamente no. Un ejemplo clásico son las coordenadas nulas

d s^{2} = - d t d X

$ds^2 = -dtdx$

Las líneas constantes de esas coordenadas son todas curvas nulas y, por lo tanto, no son observadores, aunque esto es solo un espacio de Minkowski. Sin embargo, si una de sus coordenadas es una curva temporal, entonces sí, simplemente puede trazar una línea a lo largo de esa coordenada (en las coordenadas espaciales cero, para mayor diversión), coloque las tétradas como el marco local, y este será de hecho el observador de ese sistema de coordenadas en ese punto. Pero tenga en cuenta que no se garantiza que esta curva sea una geodésica, ni siquiera del tiempo adecuado. Es un truco común en la relatividad general que si su métrica es estacionaria, siempre puede realizar una transformación de coordenadas bastante simple

t^{'} = F (t)

$t' = f(t)$

lo que no cambiará nada más que el componente temporal de la métrica, en cuyo caso, si su curva iba originalmente como tiempo propio, ya no lo hará.

Tiempo propio en Relatividad General y cambio de coordenadas

samario28

Respuestas (1)

Slereah

Interpretación de Coordenadas Normales

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

¿Cuál es la definición de tiempo en la Relatividad General?

Demostrar que dos familias de curvas son ortogonales (sin usar trayectorias ortogonales)

Coordenadas localmente planas y símbolos de Christoffel

Construyendo vielbein a partir de una métrica dada: ejemplo: coordenadas esféricas 2D

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Punto de vista geométrico de las restricciones armónicas (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) en Relatividad General

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