Diferencia entre tiempo coordinado y tiempo propio en relatividad general

Realmente, el tiempo coordinado entre dos eventos podría ser el medido por cualquier observador, no necesariamente lejano. Como dijiste, para la persona que realmente pasa por ambos eventos, su tiempo coordinado resulta ser el tiempo adecuado. Para alguien que pasa por el primer evento pero no por el segundo, podemos simplemente aplicar la rotación hiperbólica de la relatividad especial para cambiar entre las coordenadas propias y las observadas, si los eventos están cerca.

Pero si el observador está lejos de cualquiera de los eventos, necesita una forma de averiguar qué punto en el camino del observador es "simultáneo" con el evento. La idea clave aquí es que, en el espacio-tiempo, ya sea relatividad especial o general, una dirección que percibes como una separación espacial siempre es ortogonal a la dirección que percibes como tiempo.

Entonces, trazas un camino que es ortogonal a la línea de tiempo del observador y pasa por el evento. Debe ser una "línea recta", lo que significa que es una geodésica. Podemos decir que el punto donde esa geodésica se cruza con la línea de tiempo del observador representa el momento en que perciben el evento.

Haga eso para ambos eventos, tome la diferencia de los tiempos de los dos observadores, y esa será la diferencia de tiempo percibida (coordenada).

[EDITAR: Aquí hay una imagen para ilustrar el concepto. Puedes imaginar que estas geodésicas corren a lo largo de una superficie curva que representa las coordenadas del espacio-tiempo del observador. Solo tenga en cuenta que esto no es "a escala", no solo porque el espacio-tiempo real es 4D, sino porque la métrica en sí es hiperbólica. Por ejemplo, si dibujó un camino que representa un fotón, el tiempo adecuado entre dos eventos sería cero.]

Por cierto, al tomar una familia de geodésicas ortogonales a la línea del mundo y seleccionar el punto en cada una de ellas a cierta distancia, puede construir un camino que se "mueve" con el observador, es decir, mantiene la misma separación espacial. Al asignar a cada uno de estos puntos las mismas coordenadas espaciales y el tiempo que coincide con el tiempo del observador, se crea un sistema de coordenadas comóviles que le da al observador tiempo para cada evento posible. Creo que ese es el sistema al que se refieren cuando lo llaman tiempo coordinado. Sin embargo, puede haber casos en los que esto no sea globalmente posible.

Sinceramente, creo que este tipo de preguntas requieren algunas fórmulas. En primer lugar, pongámonos de acuerdo en el escenario. En la relatividad general (GR) la métrica$g_{\mu\nu}$es un tensor dinámico, lo que significa que es un tensor que no es constante. La métrica codifica cómo se miden distancias, intervalos de tiempo o mejor, intervalos de espacio-tiempo. Esta métrica dependerá de las coordenadas que elijas para el parche del espacio-tiempo que estás considerando, sin pérdida de generalidad llámalas de la siguiente manera:

$$g_{\mu\nu} = g_{\mu\nu}(t,x_1,x_2,x_3)$$

Lo importante es que localmente, digamos si estamos estudiando un parche lo suficientemente pequeño, las cosas son como en la relatividad especial y esto significa que hay una coordenada, a saber$t$en este ejemplo, al que un término diagonal$g_{tt}$, con un signo relativo opuesto está asociado. Esta coordenada suele denominarse coordenada tiempo , o al menos es la encargada de definir qué es el tiempo. Las diferentes coordenadas y métricas tienen diferentes comportamientos, nombres, pero todas comparten el hecho de que la firma de la métrica (métrica realista, no euclidiana) es la misma y esta coordenada especial siempre existe.

Hasta ahora, solo hemos elegido un conjunto de coordenadas para nuestro parche del "Universo" y reconocemos que uno de ellos se comporta de manera ligeramente diferente. Ahora hablemos del tiempo adecuado. Sobre estas coordenadas elegidas, consideremos algunas geodésicas, es decir, caminos que no experimentan aceleración. Matemáticamente en estas coordenadas, un camino en el espacio-tiempo es solo una función que depende de algún parámetro$s$, que devuelve un punto en el espacio-tiempo:

$$\gamma(s)=(t(s),x_1(s),x_2(s),x_3(s))$$ Como sabrá, hay infinitas formas de parametrizar una curva, en otras palabras$s$se puede cambiar por algún otro parámetro. Pero de nuevo, en aras de la comparación, uno busca un "estándar", esta elección natural es la longitud del arco de la ruta en sí. Suponiendo que este camino es similar al tiempo (lo que significa simplemente que su velocidad siempre es menor que la velocidad de la luz), la longitud del arco de este camino en 4 dimensiones es lo que llamamos tiempo propio , matemáticamente: $$\gamma(\tau)=(t(\tau),x_1(\tau),x_2(\tau),x_3(\tau))\Leftrightarrow \bigg|\frac{d\gamma}{d\tau}\bigg|^2=1$$ tiene las unidades de tiempo, y tiene la interpretación de ser lo que mostraría un reloj viajando a lo largo de esa geodésica. Es la parametrización la que asegura una velocidad constante de 1 respecto al parámetro$\tau$.

Arriba presenté solo las definiciones lo mejor que pude sin pasar al modo matemático completo. Hagamos contacto con los observadores, y lo que se ha mencionado en la publicación. Se piensa que los observadores asintóticos experimentan una métrica plana (así que Minkowski, por así decirlo), y simplemente sucede que su tiempo adecuado podría coincidir con el tiempo de coordenadas como se definió anteriormente, por lo tanto, la terminología y el uso. Observe cómo el tiempo de coordenadas no depende de ninguna geodésica, solo depende de nuestra elección de coordenadas, mientras que el tiempo propio es diferente para cada geodésica pero sus intervalos no dependerán de nuestra elección de coordenadas, es una propiedad intrínseca de la geodésica.

Para abordar la última parte de su pregunta. Los eventos son puntos en el espacio-tiempo, por ejemplo

$$(t_1,x_1^1,x_1^2,x_1^3)$$ $$(t_2,x_2^1,x_2^2,x_2^3)$$ donde he usado el mismo nombre para las coordenadas que antes. Estos puntos como están escritos tienen tiempos coordinados$t_1$y$t_2$y puedes restarlos para encontrar el intervalo de tiempo coordinado. Sin embargo, puedo hablar de los mismos puntos de muchas maneras diferentes, puedo cambiar las coordenadas todas juntas, o si tengo geodésicas que las atraviesan, se podrían describir por el valor del parámetro de la geodésica cuando pasa. esos puntos Tómalo como una invitación a pensar en la geometría de la situación. Para cerrar, se podría decir que para ciertas métricas de espacio-tiempo que son asintóticamente planas, el tiempo en un reloj de un observador lejano (su tiempo propio) coincide con el tiempo de coordenadas, por lo que los intervalos de tiempo que medirá serán intervalos de tiempo de coordenadas. también.

El tiempo coordinado es como la posición coordinada: es una coordenada. Las coordenadas en relatividad son como las coordenadas en la geometría ordinaria, y puedes transferir gran parte de tu intuición de la geometría ordinaria.

A veces puede no haber una coordenada de tiempo. Por ejemplo, en las coordenadas de Eddington-Finkelstein para un agujero negro de Schwarzschild, todos los ejes de coordenadas (incluido el llamado "$t$") apuntan en una dirección similar al espacio dentro del horizonte de eventos. Esto no tiene ningún significado físico. Todavía hay direcciones similares al tiempo dentro del horizonte de eventos, es solo que ninguna de las coordenadas de este sistema de coordenadas arbitrario en particular apunta en esa dirección. Todavía puedes hablar de$Δt$dentro del horizonte siempre y cuando entiendas que es como un espacio.

El tiempo propio es la longitud de una línea de tiempo. Este es el tiempo transcurrido registrado por un cronómetro con esa línea de tiempo, o la cantidad que envejecerá si es su línea de tiempo. A diferencia del tiempo de coordenadas, siempre es una cantidad físicamente significativa (al menos si algún objeto real tiene esa línea de tiempo).

el tiempo coordinado$Δt$a lo largo de un camino entre dos eventos es el tiempo entre los dos eventos medido por un observador lejano

$Δt$es solo el$t$coordenada de un evento menos la$t$coordenada de otra. Es independiente de cualquier camino entre ellos. En general, esto es tan insignificante como el$x$coordenada de un punto menos el$x$coordenada de otro punto estaría en geometría euclidiana. Si tiene algún significado, por lo general es porque es igual a un momento adecuado.

Definitivamente no es cierto en general que$Δt$es "el tiempo medido por un observador lejano". Puede ser cierto para sistemas de coordenadas específicos en experimentos específicos. Por ejemplo, si hay dos cohetes en reposo con respecto a un agujero negro de Schwarzschild y el primero emite dos pulsos de luz y el segundo los detecta, en el límite de que la segunda nave está infinitamente lejos del agujero, el tiempo adecuado entre el eventos de detección será igual a la$Δt$de los eventos de emisión si está utilizando el$t$coordenada de las coordenadas de Schwarzschild o Eddington-Finkelstein. No será igual si los barcos se están moviendo o si estás usando las coordenadas de Kruskal-Szekeres.