¿Qué estoy haciendo mal al probar la dilatación del tiempo usando el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski?

Question

¿Qué estoy haciendo mal al probar la dilatación del tiempo usando el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski?

Yogesh Yadav

Considere dos eventos A y C. Tienen el mismo valor x'y el intervalo de tiempo entre ellos es $\Delta \tau$ . Este es el intervalo de tiempo adecuado entre los eventos. El intervalo de tiempo entre los eventos en el ct-xcuadro es $\Delta t$ .

$\Delta \tau = t^\prime_c -t^\prime_a \\ \Delta t = t_c -t_b$

Usando la idea de separación invariante, puedo escribir

$c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_b - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2 \\ c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_a - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2 \\ c^2 (\Delta t)^2 = c^2 (\Delta \tau)^2 - (\Delta x^\prime)^2 \\$

Entonces, si uso la transformación de Lorentz para $(\Delta x^\prime)^2$ , obtenemos $\Delta t = \frac{\Delta \tau}{\gamma}$

¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Por qué tengo una contracción del tiempo en lugar de una dilatación del tiempo?

MBN

El

Δ x^{'}

$\Delta x'$ debe ser cero. En el comunicado usted dijo que el

x^{'}

$x'$ las coordenadas son las mismas.

Yogesh Yadav

x' son iguales para A y C, no para B y C.

knzhou

¿Por qué estás comparando?

Δ τ

$\Delta \tau$ , el intervalo de tiempo (primado) entre

a

$a$ y

c

$c$ , con

Δ t

$\Delta t$ , el intervalo de tiempo entre

b

$b$ y

c

$c$ ? Solo elige dos eventos.

DW

No es importante en absoluto, pero para que lo sepas, el símbolo "oficial" que estás buscando no es "\triángulo" sino "\Delta". No importa para esta publicación (la diferencia entre

△

$\triangle$ y

Δ

$\Delta$ - y todos sabemos a lo que te refieres), pero si alguna vez usas LaTeX para escribir un artículo para publicarlo, a un investigador privado podría interesarle.

WillO

Para empezar, su expresión para

Δ t

$\Delta t$ parece incorrecto Si este es el intervalo de tiempo entre

A

$A$ y

C

$C$ en el marco sin imprimar, debe ser

t_{c} - t_{a}

$t_c-t_a$ . pero tienes

t_{c} - t_{b}

$t_c-t_b$ . ¿Es esto solo un error tipográfico?

mago brillante

no deberías usar

Δ

$\Delta$ pero

d

$d$ en tu ecuación. lo que pones como

Δ x^{'}

$\Delta x'$ no es lo mismo que

Δ x^{'} = \frac{Δ x}{γ}

$\Delta x'= \frac{\Delta x}{\gamma}$ . necesitas usar

d x^{'}

$dx'$ que es igual

v d t

$vdt$ e ir desde allí (dividir por

c^{2}

$c^2$ y luego integrar

mago brillante

además, preste atención a la asignación de sus variables. El marco de referencia primado es en principio aquel en el que se mueve el no primado.

neil libertino

La transformación de Lorentz no es correcta. En lugar de

x_{b} - x_{c} = 0

$x_b-x_c=0$ , poner

x_{b}^{'} - x_{c}^{'} = 0

$x'_b-x'_c=0$ .

Respuestas (2)

¿Qué estoy haciendo mal al probar la dilatación del tiempo usando el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski?

El $\Delta x'$ debe ser cero. En el comunicado usted dijo que el $x'$ las coordenadas son las mismas.
¿Por qué estás comparando? $\Delta \tau$ , el intervalo de tiempo (primado) entre $a$ y $c$ , con $\Delta t$ , el intervalo de tiempo entre $b$ y $c$ ? Solo elige dos eventos.
No es importante en absoluto, pero para que lo sepas, el símbolo "oficial" que estás buscando no es "\triángulo" sino "\Delta". No importa para esta publicación (la diferencia entre $\triangle$ y $\Delta$ - y todos sabemos a lo que te refieres), pero si alguna vez usas LaTeX para escribir un artículo para publicarlo, a un investigador privado podría interesarle.
Para empezar, su expresión para $\Delta t$ parece incorrecto Si este es el intervalo de tiempo entre $A$ y $C$ en el marco sin imprimar, debe ser $t_c-t_a$ . pero tienes $t_c-t_b$ . ¿Es esto solo un error tipográfico?
no deberías usar $\Delta$ pero $d$ en tu ecuación. lo que pones como $\Delta x'$ no es lo mismo que $\Delta x'= \frac{\Delta x}{\gamma}$ . necesitas usar $dx'$ que es igual $vdt$ e ir desde allí (dividir por $c^2$ y luego integrar
además, preste atención a la asignación de sus variables. El marco de referencia primado es en principio aquel en el que se mueve el no primado.
La transformación de Lorentz no es correcta. En lugar de $x_b-x_c=0$ , poner $x'_b-x'_c=0$ .

udv · Answer 1

Entonces, solo para aclarar su enfoque:

Tomas los eventos A y C que ocurren en la misma ubicación $x'_a = x'_c$ pero tiempos diferentes $t'_a$ y $t'_c$ en el marco imprimado. También toma el evento B que ocurre al mismo tiempo que A en el marco primado, $t'_b = t'_a$ , pero en la misma ubicación que C en el marco sin primar, $x_b = x_c$ . Para los eventos B y C, luego aplica la invariancia del intervalo de espacio-tiempo

C^{2} (t_{b} - t_{C})^{2} - (X_{b} - X_{C})^{2} = C^{2} (t_{b}^{'} - t_{C}^{'})^{2} - (X_{b}^{'} - X_{C}^{'})^{2}

$c^2 (t_b - t_c)^2 - (x_b -x_c)^2 = c^2 (t^\prime_b - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2$ y en vista de

x_{b} = x_{c}

$x_b = x_c$ ,

t_{c}^{'} = t_{a}^{'}

$t'_c = t'_a$ , obtener

C^{2} (t_{b} - t_{C})^{2} = C^{2} (t_{a}^{'} - t_{C}^{'})^{2} - (X_{b}^{'} - X_{C}^{'})^{2} C^{2} (Δ t)^{2} = C^{2} (Δ τ)^{2} - (Δ X^{'})^{2}

$c^2 (t_b - t_c)^2 = c^2 (t^\prime_a - t^\prime_c)^2 - (x^\prime_b -x^\prime_c)^2\\ c^2 (\Delta t)^2 = c^2 (\Delta \tau)^2 - (\Delta x^\prime)^2 \\$ Por último, la transformada de Lorentz de

Δ x^{'} = x_{b}^{'} - x_{c}^{'}

$\Delta x' = x^\prime_b -x^\prime_c$ da

Δ x^{'} = γ (x_{b} - v t_{b}) - γ (x_{c} - v t_{c}) \equiv γ v Δ t

$\Delta x' = \gamma(x_b - v t_b) - \gamma(x_c - v t_c) \equiv \gamma v \Delta t$ , y usted concluye, correctamente , que

c Δ t = c Δ τ / γ

$c\Delta t = c\Delta \tau/\gamma$ .

Su "problema" es que independientemente de la sustitución $t'_c = t'_a$ tu relación final todavía da $(t_b - t_c) = \gamma(t'_b - t'_c)$ . Vamos a contar lo que tenemos:

Si usamos los eventos B y C en el marco sin prima, pero A y C en el marco con prima, encontramos que

"El intervalo de tiempo entre los eventos B y C que ocurren en la misma ubicación en el cuadro no preparado aparece dilatado en el tiempo con respecto al intervalo de tiempo entre el evento C y un evento A que ocurre en el cuadro preparado en la misma ubicación que C pero al mismo tiempo que B ".

La última pieza de información, "que ocurre en el cuadro preparado al mismo tiempo que B", es crucial: podemos reemplazar el evento A con cualquier otro evento, en cualquier lugar, siempre que "ocurra en el cuadro preparado en al mismo tiempo que B".

De lo contrario, si prescindimos del evento A y simplemente nos referimos solo a los eventos B y C, encontramos que

"El intervalo de tiempo $(t_b - t_c)$ entre dos eventos B y C que ocurren en la misma ubicación en el marco sin imprimar aparece el tiempo dilatado en el marco con imprimación".

Dilatación típica del tiempo. ¡Controlar!

pablo t · Answer 2

Al comparar tiempos en el contexto de la dilatación del tiempo, está comparando el intervalo de tiempo entre dos eventos. Los dos eventos deben ser los mismos dos eventos en cada marco de referencia.

Así que centrémonos en el intervalo de tiempo entre eventos. $A$ y $C$ . Por invariancia del intervalo de espacio-tiempo:

- C^{2} Δ t^{2} + Δ X^{2} = - C^{2} Δ {t^{'}}^{2} + Δ {X^{'}}^{2} .

$-c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 = -c^2 \Delta {t^\prime}^2 + \Delta {x^\prime}^2.$

En el marco de referencia imprimado $A$ y $C$ están colocados, por lo que $\Delta x^\prime=0$ , e identificamos $\Delta t^\prime=\Delta\tau$ como el momento adecuado.

- C^{2} Δ t^{2} + Δ X^{2} = - C^{2} Δ τ^{2}

$-c^2 \Delta t^2 + \Delta x^2 = -c^2 \Delta\tau^2$ Un poco de álgebra nos lleva a:

Δ t^{2} [1 - {(\frac{Δ X}{C Δ t})}^{2}] = Δ τ^{2} ⟹ Δ t = γ Δ τ .

$\Delta t^2 \left[ 1 - \left(\frac{\Delta x}{c \Delta t}\right)^2 \right] = \Delta\tau^2 \implies \Delta t = \gamma\Delta\tau.$

¿Qué estoy haciendo mal al probar la dilatación del tiempo usando el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski?

Yogesh Yadav

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Yogesh Yadav

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DW

WillO

mago brillante

mago brillante

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udv

pablo t

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