Cálculo del intervalo de espacio-tiempo - ¿Qué estoy haciendo mal?

Estoy calculando intervalos de espacio-tiempo en una configuración estándar con marcos A y B
donde t = t' = 0 y x = x' = 0, y todo el movimiento va solo en la dirección x.

Los objetos A y B se mueven con una velocidad relativa v = 0.99c, (dándonos γ = 7.089 ) para la duración de lo que A percibe como 100 segundos.

Necesito calcular el intervalo de espacio-tiempo por el que pasan los objetos A y B, de cada uno de los fotogramas. Es decir, sB es el intervalo de espacio-tiempo de B calculado a partir del marco de referencia A y s'A es el intervalo de espacio-tiempo de A calculado a partir de B (las señales de apóstrofe a partir de las cuales estamos calculando)

Ahora el intervalo de espacio-tiempo experimentado por B visto desde el marco de referencia A debe ser

s B 2 = ( C t ) 2 − X 2 = ( 100 C ) 2 − ( 99 C ) 2 = 199 C 2
el tiempo es de 100 segundos visto desde A, en ese tiempo con una velocidad de 0.99c el B se mueve 99 segundos luz

Ahora sabemos que lo que A percibe como una distancia de 99 segundos luz, B percibirá que se contrae por el factor de γ , por lo que en su momento adecuado recorrerán esta distancia en un tiempo más corto t ′ = t / γ

s ′ B 2 = ( 100 C / γ ) 2 = ( 14.1 C ) 2 = 199 C 2

hasta ahora todo bien, aunque no estoy seguro de que esto esté correctamente razonado

ahora para el intervalo de espacio-tiempo del punto A, primero desde el marco de referencia de A:

s A 2 = ( 100 C ) 2 = 10 000 C 2

y ellos del marco de referencia de B:

s ′ A = ( 100 C / γ ) 2 − ( 99 C / γ ) 2 = 4 C 2

número completamente diferente!

¿No deberían ser iguales, dado que el intervalo de espacio-tiempo es invariante?
Debo haber cometido un error en mi razonamiento, pero no veo dónde, ¿alguien puede ayudarme?

Respuestas (1)

¿No deberían ser iguales, dado que el intervalo de espacio-tiempo es invariante? Debo haber cometido un error en mi razonamiento, pero no veo dónde, ¿alguien puede ayudarme?

Sí, deberían ser iguales. La razón por la que no son iguales es porque realizó incorrectamente la transformación de Lorentz. Le mostraré dónde cometió el error, pero también le mostraré cómo soluciono esos problemas para asegurarme de evitarlos en la medida de lo posible.

Primero, los objetos tienen líneas de mundo, por lo que tienen un número infinito de eventos en cada línea de mundo. Entonces, no hay solo un "intervalo de espacio-tiempo experimentado por los objetos". Para reflejar eso, me gusta escribir la línea de tiempo real de los objetos siempre que sea fácil hacerlo. Parece que está considerando que el marco de A es el marco sin imprimar, por lo que en el marco sin imprimación, la línea mundial de A es ( C   t , 0 ) donde esta la primera coordenada C t y la segunda coordenada es X . De manera similar, la línea de tiempo de B es ( C   t , 0.99   C   t ) .

Ahora, queremos calcular el intervalo de espacio-tiempo, por lo que debemos seleccionar un evento en cada línea de tiempo. Seleccionaremos los eventos en t = 100 para cada. Etiquetaremos los eventos como a y b respectivamente usando minúsculas para distinguir entre la línea temporal completa para A y B y los eventos específicos. Entonces a = ( 100   C , 0 ) y b = ( 100   C , 99   C ) , nuevamente todo en el marco sin imprimación (A).

Entonces, calculemos los intervalos. Omitiré los detalles ya que lo has anotado correctamente, y obtenemos s a 2 = 10000   C 2 y s b 2 = 199   C 2 exactamente como lo tenías antes.

En este punto, pasaremos del marco sin primar al marco con prima. El problema en el que cometió su error fue que no utilizó la transformación completa de Lorentz. Intentaste considerar solo la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. Al usar la transformación completa de Lorentz, obtenemos valores diferentes a los que tenía. Concretamente, obtenemos a ′ = ( 708.9   C , − 701.8   C ) y b ′ = ( 14.1   C , 0 ) . Tenga en cuenta, en particular, que estos dos eventos no son simultáneos en el marco no imprimado donde su cálculo muestra incorrectamente que son simultáneos. Este error se debe al uso de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud en lugar de la transformada de Lorentz.

Finalmente, podemos calcular los intervalos como antes y obtenemos s ′ a 2 = 10000   C 2 y s ′ b 2 = 199   C 2 , que concuerda con nuestros cálculos anteriores como debería.

Gracias por tu ejemplo de cálculo correcto. Sentía que el último cálculo tiene algunos problemas con respecto al tiempo y la simultaneidad. Aceptaré tu respuesta como solución a mi problema. Pero todavía no entiendo qué efecto relativista debo tener en cuenta al realizar mi razonamiento paso a paso sobre los eventos. Estoy tratando de comprender lo que sucede físicamente más allá de la transformación completa de lorentz, que, como se muestra, produce los resultados correctos.
¡Tienes que tener en cuenta todos los efectos relativistas! Ese es el propósito de usar la transformada de Lorentz. Cuando hablo de relatividad con nuevos estudiantes, de hecho, recomiendo no usar las fórmulas de dilatación del tiempo y contracción de la longitud. Es demasiado fácil tratar de usarlos donde no se aplican. Si utiliza la transformada de Lorentz completa en una situación en la que la dilatación del tiempo o la contracción de la longitud son apropiadas, la transformada de Lorentz se simplificará automáticamente de forma correcta. Es mejor obtener una comprensión intuitiva de la transformada de Lorentz que un enfoque fragmentado
Entonces, ¿está diciendo que una persona primero debe aprender las matemáticas antes de tratar de entender por qué las matemáticas son de esa manera? Entiendo que así funciona la escuela china de pensamiento sobre el aprendizaje.
No, estoy diciendo que primero se le deben enseñar las matemáticas correctas. La contracción de la longitud y la dilatación del tiempo son muy propensas a errores y deben enseñarse al final. La transformada de Lorentz es más general, más poderosa y menos propensa a errores y debe enseñarse primero. Cada concepto debe enseñarse para que se entienda por qué es así.
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