Para una función de onda radialmente simétrica, ¿se permite que ΨΨ\Psi explote en r=0r=0r=0 siempre que |Ψ|2r2|Ψ|2r2|\Psi|^2r^2 no lo haga?

Para una función de onda esféricamente simétrica, la probabilidad es proporcional a | Ψ | 2 r 2 , y si la función de onda explota en r = 0 entonces en r = 0 | Ψ | 2 = ∞ , y r 2 = 0 lo que significa que la probabilidad es proporcional a ∞ ∗ 0 y por su cuenta ∞ ∗ 0 sería indeterminado, sin embargo, para una distribución de probabilidad continua | Ψ | 2 r 2 todavía tendría un valor determinado en r = 0 dado por el límite como r enfoques 0 , y para algunas funciones, en las que tiene ∞ ∗ 0 en un punto particular, el valor sigue siendo finito.

¿Significa esto que Ψ se le permite explotar en r = 0 siempre que | Ψ | 2 r 2 ¿no?

Respuestas (2)

Sí. Siempre que la función de onda resultante sea normalizable. El punto es que, en coordenadas polares, la parte radial del Laplaciano es un punto singular de la ecuación en r = 0 . Dependiendo de la forma del potencial, tales puntos singulares pueden estar en el caso del punto límite o del círculo límite de Weyl . En el último caso, existe una familia de condiciones de contorno de un solo parámetro que se puede imponer en r = 0 para lo cual el operador de Schroedinger sigue siendo autoadjunto. Para tres dimensiones, y para el momento angular yo > 0 estamos en el caso del punto límite y la función de onda tiene que permanecer finita. Para el yo = 0 en el caso de que estemos en el caso del círculo límite y se permita que la función de onda explote siempre que impongamos condiciones de contorno de la forma

ψ ( r ) ∼ A ( 1 − α s r ) , r → 0 ,
dónde α s es la longitud de dispersión . Físicamente, estas condiciones surgen cuando hay algo justo en el origen que es demasiado pequeño para ser resuelto por las longitudes de onda que nos interesan. Esto sucede en el caso de los gases atómicos fríos donde α s se parametriza la manera en que un átomo percibe a otro.

  1. Desde el punto de vista del espacio de Hilbert H = L 2 ( R 3 ) en sí misma, se permite que la función de onda explote no solo en el origen r = 0 , pero también en otros puntos, siempre que sea de cuadrado integrable.

  2. Ahora bien, si la función de onda debe satisfacer el TISE, existen otras restricciones.

  3. Si el TISE es esféricamente simétrico, a menudo es útil usar coordenadas esféricas, como lo hace OP. Condiciones adicionales en r = 0 se discute en, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.

Para una función de onda radialmente simétrica, ¿se permite que ΨΨ\Psi explote en r=0r=0r=0 siempre que |Ψ|2r2|Ψ|2r2|\Psi|^2r^2 no lo haga?
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