¿Es incorrecta esta expresión para el flujo de probabilidad radial en la Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai?

Considere l = 0, por lo que no cree que esto tenga algo que ver con las coordenadas polares: simetría esférica perfecta,$\psi=R_E(r)\equiv \sqrt{\rho (r)} e^{iS(r)}$, para ρ reales y S , en general.

Para estados ligados como los átomos, por supuesto, S desaparece, R es real, como notaron, ya que E < 0 y estos sistemas son estacionarios : se quedan quietos,$\dot{\rho}=0$, sin fugas de probabilidad,$j_r=0$. Los átomos son estables.

Pero , para los estados de dispersión, por supuesto, no: piense en una onda esférica ($R\sim e^{irk}/r$, entonces$j_r=\hbar k/mr^2$), o un paquete de onda de propagación libre , a continuación.

La corriente de densidad de probabilidad es, por lo tanto,

$$j_r= \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im} \bar{R}\partial_r R= \frac{\hbar}{m} \rho \partial_r S .$$

La ecuación de continuidad,$\dot{\rho}+ j_r(r)=0$entonces implica que la probabilidad P en un volumen esférico V con área de superficie A , disminuye a medida que la corriente sale de la capa superficial,

$$\dot{P}=\int dV ~\dot{\rho} = -\oint dA ~j_r.$$

Entonces, por ejemplo, para el paquete de ondas gaussianas de difusión libre (¡cero es un potencial esférico!), sin normalizar, comenzando con un ancho cuadrado a en el origen del tiempo ( t = 0),

$$R=\left ( \frac{\sqrt{a}}{a+\frac{i\hbar t }{m}} \right )^{3/2} ~\exp \left (-r^2 \frac{a-i\hbar t/m}{2(a^2+\hbar^2t^2/m^2)} \right )~,$$ decididamente complejo.

Evaluando la densidad de corriente anterior,

$$j_r= \frac{\hbar}{m} \rho \frac{r\hbar t }{m(a^2+\hbar^2 t^2/m^2 )}= \frac{r t \hbar^2}{m^2 a}\left ( \frac{1}{a+\frac{\hbar^2 t^2 }{m^2 a}} \right )^{5/2} ~\exp \left (-r^2\frac{a}{a^2+\hbar^2t^2/m^2} \right )~,$$ verifica la corriente y el flujo de salida atenuados con r (la probabilidad se conserva en el caparazón en el infinito). Para $\hbar t/m \gg a$, a se sustituye por $\hbar ^2t^2/m^2 a$, un ancho al cuadrado que crece hasta el infinito, a medida que el gaussiano colapsa a una constante y la localización se pierde por completo.

La "velocidad de flujo cuántico" ,

$$\frac{j_r}{\rho}=\frac{r}{t}~\left ( \frac{1}{1+\frac{m^2 a^2}{\hbar^2 t^2}}\right )$$ luego colapsa a r/t por mucho tiempo.

• Edite en su pregunta modificada "¿dónde está mi error en (2)?" : Dejemos de lado los armónicos esféricos irrelevantes, etc., absorbiéndolos como constantes r en el término A que los autores desean desterrar. Entonces, en mi idioma,$\psi \propto R(r)=\sqrt{\rho}e^{iS(r)}\sim A/r^{l+1}$cerca del origen. De mi expresión,$j_r\sim \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l+2}}\partial_r S ,$de modo que la probabilidad de fuga de un caparazón cerca del origen es

  $$4\pi r^2 j_r \propto \frac{\hbar A A^*}{m r^{2l}}\partial_r S \propto r^{-(2l+1)},$$ para un S razonable que se desvanece en el origen, como se encuentra en la teoría de dispersión. (Por supuesto, si S es una constante, como en los estados ligados, es inútil y absorbible, y la respuesta se desvanece). Como resultado de esta explosión de flujo de salida, debe rechazar esta solución singular como no física. Por el contrario, para l = 0,$S=kr$es seguro, equivaliendo a una onda esférica,$R\sim \exp(irk) /r$.

• Un total aparte, pero mientras estamos en eso. Para l no nulo y qn azimutal no nulo m (¡no masa!), el estado ligado wf tiene un comportamiento complejo,$\exp(im\phi)$, lo que lleva a una componente φ no trivial de la corriente de probabilidad. Entonces, a pesar de que la probabilidad nunca sale de una capa esférica, existe este flujo de probabilidad azimutal como la corriente en chorro, ¡dando vueltas y vueltas y vueltas!