La interpretación estadística de la entropía

Entonces el número de microestados correspondientes a este macroestado debería ser 1 (ya que todas las partículas son idénticas).

Las partículas pueden ser idénticas (tener las mismas propiedades físicas intrínsecas), pero eso de ninguna manera significa que no sean distintas. Es más natural suponer que las partículas son distintas (se pueden colocar en diferentes lugares, etiquetar y rastrear).

El microestado del sistema no está dado por los números de ocupación de los departamentos, sino por un conjunto de ubicaciones para cada partícula distinta. De manera equivalente, está dada por el conjunto de partículas en el primer departamento.

El número de tales conjuntos$\Omega$se calcula fácilmente. Imagine un proceso en el que creamos un conjunto particular colocando$k$partículas de la inicial$N$-conjunto integrado en el primer departamento. El número de formas distintas de hacerlo es

$$W = N(N-1)(N-2)...(N-(k-1)) = \frac{N!}{(N-k)!}.$$

Sin embargo, al hacer un conjunto en particular,$k!$son posibles distintas formas (que difieren en el orden en que se colocaron las partículas). Por lo tanto, el número de conjuntos posibles es menor por un factor de$k!$:

$$\Omega = \frac{N!}{k!(N-k)!}.$$

Es un problema de permutación simple.

Supongamos que hay$N$partículas distinguibles. Dejar$n_L$sea ​​el número de partículas distribuidas a la izquierda &$n_R$distribuidos en el compartimento derecho.

En primer lugar, debe seleccionar una partícula para el primer lugar de$N$lugares. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Se puede hacer en$N$maneras; ahora el segundo lugar puede ser ocupado por$(N-1)$maneras. De manera similar, por extrapolación, podemos encontrar el número de formas en que$N^\text{th}$el lugar se puede llenar es$(N-(N-1))$maneras. Por la regla de la multiplicación, todos estos se pueden hacer simultáneamente en$N!$maneras.

Ahora, suponga que usted ha$n_L$partículas distinguibles; entonces se pueden organizar en$n_L$lugares por$n_L!$maneras; similarmente$n_R$Las partículas pueden estar dispuestas entre$n_R$lugares por$n_R!$maneras.

Pero todos sabemos que$N$las partículas son indistinguibles. Sea el número total de arreglos$x$. Para cada arreglo, podríamos arreglar$n_L$partículas y$n_R$partículas entre ellas por$n_L!$&$n_R!$maneras si fueran distinguibles. Entonces, el número total de arreglos es$x\cdot n_L!\cdot n_R!$maneras. Pero esto es igual a$N!$maneras, Entonces, al igualarlos, obtenemos el número de formas en que las partículas indistinguibles pueden organizarse, es decir$x$verbigracia.

$$x= \frac{N!}{n_L!\cdot n_R!}.$$

El número de microestados es posible arreglo o permutación. Dado que las partículas son idénticas pero tienen dos cajas idénticas que se diferencian por izquierda y derecha o de otro tipo. El número de formas en la primera partícula ordenada es 2. La siguiente partícula es nuevamente 2. Entonces, para$N$partículas, hay$2^N$posibilidades. Esto es similar a la cantidad de formas en que se puede hacer un pin de 4 dígitos,$10.10.10.10=10^4$.

Esto también es similar a si$N$Se lanzan monedas y se indica el número de resultados posibles.$2^N$. Ahora, sobre la probabilidad, puede estar dada por los resultados favorables divididos por el número de resultados posibles, es decir, la combinación que es menor para el valor extremo pero máxima para el valor medio. Como solo 1 partícula en cualquiera de las cajas de 10 es,$2C_1^{10}=18$, pero para 5 es 504. Entonces, la probabilidad de 5 en cualquier casilla de 10 es$\frac{504}{1024}=0.492$, suponiendo que las cajas sean idénticas de forma equiprobable.

Según el método solicitado en cuestión, el número de partículas es$N$. Deben colocarse en dos cajas idénticas, luego el número de posibles arreglos o microestados viene dado por,

$$\displaystyle \Omega=\sum_{k=0}^N\frac{N!}{k!(N-k)!}=2^N$$ dónde$k$es el número de partículas en una caja entonces$(N-k)$son el número de partículas en otra caja. El número de microestados es la suma de todos estos términos de expansión binomial.