Para la relación R=∅R=∅R = \emptyset en {1,2,3}{1,2,3}\{1, 2, 3\}, ¿es reflexiva, simétrica, transitiva?

En el caso siguiente, una relación en el conjunto { 1 , 2 , 3 } es dado. De las tres propiedades, reflexividad, simetría y transitividad, determine cuáles tiene la relación. Dar razones.

R = ∅

Supuse que era reflexivo, simétrico y transitivo. Mi profesor dijo que no era reflexivo, pero no entendía por qué. Mis razones para que sea reflexivo, simétrico y transitivo fue porque no tenían una parte si que pudiera hacerlo falso. ¿Es esto lo mismo que decir que es vagamente cierto? Si no, ¿cuáles serían las razones de si es o no reflexivo, simétrico y transitivo?

Ser reflexivo sobre S , necesitarías tener ( i , i ) ∈ R , para i ∈ { 1 , 2 , 3 } .

Respuestas (1)

Ser una relación reflexiva es una propiedad extrínseca. Conecta la relación con un conjunto externo, mientras que ser simétrico y transitivo son propiedades intrínsecas que dependen solo de los pares ordenados en la relación.

R es reflexivo sobre A si por cada X ∈ A el par ⟨ X , X ⟩ es en R . Así que si R = ∅ y A ≠ ∅ no es reflexivo sobre A .

Lo mismo ocurriría si { ⟨ 1 , 1 ⟩ } es reflexivo sobre { 1 } ? Sí. Lo es, pero ¿es un reflejo de norte ? No. La pareja ⟨ 2 , 2 ⟩ no está allí, así que no todos norte ∈ norte satisface la propiedad requerida.

Para la relación R=∅R=∅R = \emptyset en {1,2,3}{1,2,3}\{1, 2, 3\}, ¿es reflexiva, simétrica, transitiva?
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