Necesito ayuda para entender la clase de equivalencia

Creo que las clases particulares escritas$[\{2\}]$y$[\{2,3\}]$son solo ejemplos . El punto principal es, supongo, claro, un$n$subconjunto de elementos de$S$está relacionado exactamente con el$n$subconjuntos de elementos por$R$.

En general, si$M$es un conjunto y$R$es una relación de equivalencia en$M$, entonces el conjunto cociente $M/R$que consiste formalmente en las clases de equivalencia, también puede verse como la realización de tener todos los elementos de$M$con la igualdad original reemplazada por la relación$R$. De modo que cada elemento$m\in M$es (determina) un elemento en$M/R$, y$m=m'$mantiene en$M/R$si y si$\ m\,R\,m'$en$M$. Formalmente, para distinguir, deberíamos escribirlo usando corchetes, como$[m]=[m'] \iff m\,R\,m'$.

Otra perspectiva importante son las relaciones de equivalencia vía sobreyecciones . Toda relación de equivalencia en$M$se puede definir mediante una función (sobreyectiva) $f:M\to K$en algún conjunto$K$:

Dejar$x\,E_f\,y$si y si$\ f(x)=f(y)$.

Entonces, este mismo$f$determina una biyección entre$M/E_f$y$K$, es decir, en este caso el conjunto cociente se puede identificar con el rango de$f$($K$), a través de la asignación$f$, de modo que cada valor de$K$corresponderá directamente a una clase de equivalencia.

En este ejemplo particular, por$A\in P(S)$, podemos establecer$f(A):=|A|$, entonces$R=E_f$, y ahora toma valores del rango$\{0,1,2,3,4\}$.

Creo que le irá mejor si se aleja del problema en cuestión y trata de comprender las clases de equivalencia. Para hacer esto, debe comprender que las clases de equivalencia provienen de las relaciones de equivalencia. Así que probablemente deberías empezar por ahí. Realmente, tienes que tomarte el tiempo para digerir la definición formal, nadie puede hacerlo por ti.

Un hecho clave es que una relación de equivalencia divide un conjunto. Una partición de un conjunto$X$es una descomposición de$X$en conjuntos no vacíos con la propiedad de que estos conjuntos no se superponen y que la unión de los conjuntos es$X$.

Cuando reconocemos que la relación de equivalencia divide un conjunto, podemos identificar una clase de equivalencia por los conjuntos que componen la partición. Esto proporciona una idea intuitiva de lo que es una clase de equivalencia. Toma los enteros positivos$\mathbb{N}$Por ejemplo. Podemos dividir por divisibilidad entre 2:$x$está relacionado con$y$si$x-y$es divisible por 2. En este caso, el conjunto de números pares es una clase de equivalencia y el conjunto de números impares es una clase de equivalencia.

Volviendo a tu ejemplo, ¿qué es$P(S)?$Para tu relación de equivalencia, ¿qué significa si$x,y\in P(S)$y$|x|=|y|$? Estas son las preguntas fáciles.

Me parece que estás tratando de entender el problema antes de entender las clases de equivalencia.