Problema de relación

Dejar A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y deja F : PAG ( A ) → norte sea ​​la función definida diciendo que F ( X ) es la suma de los elementos de X , para cada X ∈ PAG ( A ) . (Si X = ∅ , entonces por convención decimos que F ( X ) = 0 ). Definir la relación ∼ en PAG ( A ) como sigue:

X ∼ Y si y solo si F ( X ) > F ( Y ) o X = Y .

Escribe si ∼ es reflexivo, simétrico, antisimétrico, transitivo.

La parte en la que estoy luchando es para probar la reflexividad.

Reflexivo: a ∼ a para todos a . Entonces eso significa F ( X ) > F ( Y ) es falso, ya que F ( X ) > F ( X ) Es falso.

Pero X = Y parte es cierta ya que, X = X para todos X ∈ PAG ( A ) .

Tengo una pregunta de seguimiento adicional a esto. Si tuviera que probar simetría: habrá cuatro casos. 1) si F ( X ) > F ( Y ) entonces F ( Y ) > F ( X ) (Falso) 2) si X = Y entonces Y = X (Verdadero) 3) si F ( X ) > F ( Y ) entonces Y = X (Falso) 4) si X = Y entonces F ( Y ) > F ( X ) (Falso) En ese caso, ¿es esta relación una relación simétrica?

Respuestas (2)

Creo que lo piensas correctamente, pero ineficiente, lo que te hace confuso.

Como dijiste, para probar la reflexividad tienes que demostrar que X ∼ X para cada X .

Ahora el conjunto X está en relación consigo mismo, ya que X = X siempre se mantiene, y entonces ya has terminado. Así que no hay necesidad de mencionar que F ( X ) > F ( X ) no se sostiene (que es una observación correcta).

Ahh ok, ¿entonces eso significa que S es reflexivo?
Sí, su relación es reflexiva.
Ahh ok. Muchas gracias por la respuesta.
De nada. :)

Supongamos que tienes una relación W (para "lo que sea") en un set C y definir, por a , b ∈ C ,

a R b si y solo si a W b o a = b

entonces la relacion R es necesariamente reflexivo: el predicado

a W a o a = a

es cierto para cada a ∈ C ; el valor de verdad de a W a es completamente irrelevante y ni siquiera debe mencionarse en la prueba.

Trate de pensar en términos más abstractos para que los detalles del ejercicio no lo distraigan de la tarea principal.

En tu caso C = PAG ( A ) y la relacion W es definido por X W Y para F ( X ) > F ( Y ) .

Nota al margen 1. Aparecerá un problema similar con la prueba de transitividad: tenga mucho cuidado.

Nota al margen 2. Una edición de la pregunta enmascaró otro error que cometiste. La relación que tuviste se llamaba S , pero en el intento de prueba lo llamaste R . Esto podría ser solo un error tipográfico, pero no usar el símbolo correcto podría otorgarle una calificación más baja.

Bien, gracias por la explicación. Entonces, para la transitividad, S también es transitiva, ¿verdad? Como f(X)*>*f(X) y f(Y) > f(Z) , entonces f(X) > f(Z)
@BryanHii ¡No estás teniendo cuidado! ;-) Reintentar: hay cuatro casos para analizar. Por cierto, escriba $f(X)>f(y)$en lugar de*f(X)*>*f(Y)*
Se me ocurrió algo pero no sé si es correcto. Porque la transitividad significa que cuando aRb y bRc, entonces aRc. Así que en mi caso, si X = Y, y F ( Y ) > F ( Z ) , entonces X = Z es falso, porque X no puede ser igual a Z. ¿Estoy pensando en la dirección correcta?
@BryanHii No, me temo.
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