Definición de relación simétrica

Si$(c,d)$está en la relación, entonces comprobamos si$(d,c)$está en el conjunto.

Sin embargo, en este caso,$(c,d)$no está dentro$R$, por lo que no debemos esperar$(d,c)$estar en la relación para que sea simétrica.

Definición 1: Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si para todo x, y de A es cierto lo siguiente: (x,y) está en R implica que (y,x) está en R.

Definición 2: Una relación R sobre el conjunto A es simétrica si para todo x, y de A es cierto lo siguiente: si (x,y) está en R, entonces (y,x) está en R.

Estas definiciones no requieren que todo (x,y) tenga que estar en R. Solo requieren que para aquellos (x,y) que están en R, (y,x) tiene que estar en R.

Supongamos que ningún único (x,y), donde x es diferente de y, está en R. En este caso, R es simétrico.

Esto es así porque la proposición

  if (x,y) is in R, then  (y,x) is in R

es automáticamente verdadera cuando la proposición

  (x,y) is in R

es falso (es decir, cuando (x,y) no está en R).

Entonces$(a,c)$no está incluido en$\mathbb{R}$. Entonces no podemos esperar$(c,a)$en$\mathbb{R}$.

Si$(a,c)$está incluido en$\mathbb{R}$. Entonces podemos esperar$(c,a)$en$\mathbb{R}$

Y entonces ambos son simétricos.