¿Cuáles son exactamente las diferencias entre los límites multivariables reales y los límites complejos?

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¿Cuáles son exactamente las diferencias entre los límites multivariables reales y los límites complejos?

limites
análisis
Matemáticas
análisis real
análisis complejo
cálculo multivariable

BCLC

Lo que entiendo es una definición de $\lim_{z \to z_0}f(z) = L$ es como sigue. ¿Es esto correcto?
- 1.1.
Dejar $f=u+iv$ ser una función compleja definida en una vecindad eliminada abierta de algún punto $z_0=(x_0,y_0) \in \mathbb C$ .
- 1.2. Entiendo que lo anterior se traduce en
Dejar $G \subseteq \mathbb C$ . Dejar $z_0=(x_0,y_0) \in \mathbb C$ . Dejar $f: G \to \mathbb C$ . Dejar $U$ ser un barrio abierto de $z_0$ con $U \ \setminus \{z_0\} \subseteq G$ . Tenemos $f=u+iv$ , para $u,v: G \to \mathbb R$ .
- 1.3. Entonces $\lim_{z \to z_0}f(z) = L$ se define como que los dos ff son verdaderos

\underset{(X, y) \to (X_{0}, y_{0})}{límite} tu (X, y) = ℜ (L)

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}u(x,y)=\Re(L)$

\underset{(X, y) \to (X_{0}, y_{0})}{límite} v (X, y) = ℑ (L),

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}v(x,y)=\Im(L),$

donde se aplica la definición de límite real de multivariable real.

Aparentemente, lo anterior es una definición equivalente a la definición original de $\lim_{z \to z_0}f(z) = L$ que se da como algo así como...

Para todos $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ calle $|f(z)-L| < \varepsilon$ cuando sea $0 < |z-z_0| =$ $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ $< \delta$ PERO al parecer ...

... no nos restringimos solo a $z=(x,y) \in$ ( o bien $G$ o $U$ o $U \ \setminus \ \{(z_0)\}$ . Creo $U$ . ) o algo diferente en el caso de los límites multivariables reales ? ¿Qué está sucediendo? Cómo ' $f(z)$ ' tiene sentido si no tienes $z \in Domain(f)=G$ ? Y luego, tal vez esto incluso se aplica a (1) arriba.

2.1. ACTUALIZACIÓN 1 : Si bien encontré un libro de texto fuera de nuestro programa de estudios que habla sobre $z \in G$ (por $G$ me refiero al dominio de $f$ ), acabo de consultar un libro de texto en nuestro plan de estudios (Brown Churchill) que no parece tener $z \in G$ . ¿Qué está pasando, por favor?

ACTUALIZACIÓN 2 : lo más cerca que creo que he visto $z \in G$ es eso $z$ 'tiene una imagen w' pero no creo que necesariamente signifique $z \in G$ ...o no sé... creo que 'tiene una imagen w' es como asumir en lugar de implicar $z \in G$

En particular, ¿qué obtenemos como diferencia en el caso de $v=0$ , es decir $f=u$ , es decir $f$ tiene un valor real (creo que en este caso (3) implica $\Im(L)=0$ )? Me refiero a preguntar la diferencia entre

\underset{(X, y) \to (X_{0}, y_{0})}{límite} tu (X, y) = ℜ (L)

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}u(x,y)=\Re(L)$

\underset{z \to z_{0}}{límite} F (z) = L

$\lim_{z \to z_0}f(z)=L$

Si hay tanta diferencia entonces creo que los 2 $\lim$ son en realidad diferentes, ya que pedimos el 'límite complejo' frente al 'límite real'. Supongo que tanto el límite complejo como el real son iguales si ambos existen, pero aparentemente el límite complejo tiene requisitos más estrictos o algo así. Entonces, la única diferencia en la salida es si existen o no.

Nota : Esta es la versión correcta de la pregunta incorrecta que hice anteriormente .

Alan

lo suficientemente pequeño

ϵ

$\epsilon$ pelota es lo que te da el equivalente a un vecindario perforado abierto (Dado que la distancia es mayor que 0, eso elimina

f (z)

$f(z)$ y un conjunto abierto tiene que contener un abierto

ϵ

$\epsilon$ disco alrededor de todos sus puntos

BCLC

@Alan gracias por comentar. tenga en cuenta que publiqué una actualización con un libro de texto en el plan de estudios. 1 - Entonces, ¿hay alguna diferencia entre límites reales y complejos? 2 - Entonces, ¿hay alguna diferencia entre

U

$U$ y

G

$G$ ?

xander henderson

En el texto citado, el primer párrafo es informal. Esto se indica con la oración "Expresamos ahora la definición de límite en una forma precisa y utilizable". El primer párrafo pretende dar intuición , y el segundo precisión .

BCLC

@XanderHenderson está bien, en la versión precisa no veo ninguna

z \in G

$z \in G$ . pero si me refiero a la versión intuitiva, creo que ahora hay un

z \in G

$z \in G$ . entonces, ¿la versión precisa sin la versión intuitiva es incorrecta?

xander henderson

Si

z

$z$ no está en el dominio de

f

$f$ , entonces ¿cuál es el valor de verdad de

| f (z) - w_{0} | < ε

$|f(z) - w_0| < \varepsilon$ ?

BCLC

@XanderHenderson LOL ok, gracias, pero el punto es que es lo mismo real o complejo, ¿verdad? por cierto, agregué una 'actualización 2'.

moishe kohan

Están asumiendo implícitamente que

z

$z$ está en el dominio de

f

$f$ .

Marcas.

Cuando dice "Deja...

f

$f$ estar definido en todos los puntos

z

$z$ en algún barrio borrado de

z_{0}

$z_0$ ", que implica ( casi por definición) que para suficientemente pequeño

δ

$\delta$ , todo

z

$z$ satisfactorio

0 < | z - z_{0} | < δ

$0<|z-z_0|<\delta$ están en el dominio de

f

$f$ . ¿Eso cubre su preocupación restante?

Marcas.

También si

z

$z$ "tiene una imagen

w

$w$ (bajo

f

$f$ )", eso es exactamente lo mismo que

z

$z$ estar en el dominio de

f

$f$

BCLC

@Marcas. gracias a todos. esto es demasiado raro pero de todos modos, ahora tengo plena confianza para preguntarle a mi instructor sobre esto.

Respuestas (1)

¿Cuáles son exactamente las diferencias entre los límites multivariables reales y los límites complejos?

lo suficientemente pequeño $\epsilon$ pelota es lo que te da el equivalente a un vecindario perforado abierto (Dado que la distancia es mayor que 0, eso elimina $f(z)$ y un conjunto abierto tiene que contener un abierto $\epsilon$ disco alrededor de todos sus puntos
@Alan gracias por comentar. tenga en cuenta que publiqué una actualización con un libro de texto en el plan de estudios. 1 - Entonces, ¿hay alguna diferencia entre límites reales y complejos? 2 - Entonces, ¿hay alguna diferencia entre $U$ y $G$ ?
En el texto citado, el primer párrafo es informal. Esto se indica con la oración "Expresamos ahora la definición de límite en una forma precisa y utilizable". El primer párrafo pretende dar intuición , y el segundo precisión .
@XanderHenderson está bien, en la versión precisa no veo ninguna $z \in G$ . pero si me refiero a la versión intuitiva, creo que ahora hay un $z \in G$ . entonces, ¿la versión precisa sin la versión intuitiva es incorrecta?
Si $z$ no está en el dominio de $f$ , entonces ¿cuál es el valor de verdad de $|f(z) - w_0| < \varepsilon$ ?
@XanderHenderson LOL ok, gracias, pero el punto es que es lo mismo real o complejo, ¿verdad? por cierto, agregué una 'actualización 2'.
Están asumiendo implícitamente que $z$ está en el dominio de $f$ .
Cuando dice "Deja... $f$ estar definido en todos los puntos $z$ en algún barrio borrado de $z_0$ ", que implica ( casi por definición) que para suficientemente pequeño $\delta$ , todo $z$ satisfactorio $0<|z-z_0|<\delta$ están en el dominio de $f$ . ¿Eso cubre su preocupación restante?
También si $z$ "tiene una imagen $w$ (bajo $f$ )", eso es exactamente lo mismo que $z$ estar en el dominio de $f$
@Marcas. gracias a todos. esto es demasiado raro pero de todos modos, ahora tengo plena confianza para preguntarle a mi instructor sobre esto.

ted · Answer 1

ted

No hay diferencia entre el "límite real" y el "límite complejo". En la definición (2), siempre debe tomar $\delta$ suficientemente pequeño para que el disco perforado $0 < |z-z_0| < \delta$ se encuentra enteramente en el dominio de $f$ . Esto es posible debido a la condición (1.1).

BCLC

gracias esto es tan extraño en realidad, mi instructor aún no publicó las notas de clase para esta parte (o tal vez aún no tengo acceso a la página web del curso), pero en clase mi instructor dijo algo sobre cómo los límites complejos son más estrictos que los límites reales. (antes de que yo mismo le pregunte a mi instructor) ¿has escuchado algo sobre esto? Creo que he visto algunas publicaciones en stackexchange sobre la diferencia entre derivadas únicas/multivariables complejas y reales en este asunto, pero...

BCLC

... en cuanto a los límites, no pude encontrar nada en línea (stackexchange o en otro lugar). (Sin embargo, todavía tengo que revisar los libros de texto en nuestro plan de estudios. Pero en 1 libro de texto fuera del programa de estudios que he visto hasta ahora dice

z \in G

$z \in G$ )

xander henderson

El plano complejo

C

$\mathbb{C}$ y el avion real

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ son isométricos (es decir, son indistinguibles como espacios métricos). Dado que el límite solo se preocupa por la estructura métrica, los límites en el plano complejo son idénticos a los límites en el plano real. Sin embargo, las derivadas en los planos complejo y real son algo diferentes: la estructura compleja es más "rígida" que la estructura real, por lo tanto, es "más difícil" que una función sea diferenciable compleja que diferenciable real. @JuanSmithKyon

BCLC

¡Ted y @XanderHenderson gracias! publiqué una actualización. aparentemente en brown churchill tal vez no requiera

z \in G

$z \in G$ (por

G

$G$ me refiero al dominio de

f

$f$ ). o lo hace?

BCLC

nvm. gracias a todos. esto es demasiado raro pero de todos modos, tengo plena confianza ahora para preguntarle a mi instructor sobre esto: Ted, @XanderHenderson et al

¿Cuáles son exactamente las diferencias entre los límites multivariables reales y los límites complejos?

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Alan

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xander henderson

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xander henderson

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moishe kohan

Marcas.

Marcas.

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xander henderson

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BCLC

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

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