Cuantización del momento angular en SO(3)SO(3)SO(3)

Cuando los operadores hermitianos L 1 , L 2 , L 3 sigue las relaciones de conmutación:

[ L 1 , L 2 ] = i L 3 [ L 2 , L 3 ] = i L 1 [ L 3 , L 1 ] = i L 2

se puede demostrar que, asumiendo que son un número finito, sus valores propios son enteros o semienteros. Resulta que la base del álgebra de Lie de S tu ( 2 ) sigue estas relaciones, y después de identificar el momento angular a estos operadores, constituye una prueba de la cuantización del momento angular.

Ahora bien, mis conocimientos matemáticos no van mucho más allá, pero la base del álgebra de Lie de S O ( 3 ) sigue las mismas relaciones de conmutación, con la excepción de la i coeficiente. En ese caso, no puedo encontrar ninguna forma de obtener valores propios cuantificados. ¿Cómo es que leo aquí y allá que S O ( 3 ) y S tu ( 2 ) tienen álgebras de Lie isomórficas y que básicamente conducen a la misma cuantización? Si es así, ¿cómo obtengo esa cuantificación usando solo S O ( 3 ) operadores? Y si el resultado es el mismo, ¿por qué nos molestaríamos en usar S tu ( 2 ) ¿cuándo podemos usar operadores de rotación reales de 3x3?

SU(2) no es isomorfo a SO(3), es una doble cubierta; sin embargo sus álgebras de Lie son.
Las álgebras de mentira s o ( 3 ) ≅ s tu ( 2 ) son isomorfos; los grupos de mentira S O ( 3 ) y S tu ( 2 ) no son isomorfos.
Corregí la pregunta de acuerdo a sus comentarios.
La "i" es irrelevante y puramente convencional para garantizar que los generadores sean hermíticos.
Tan importante como el álgebra en sí es la representación del álgebra. Una vez que eliges un álgebra y una representación particular, arreglas el grupo de Lie asociado. Por ejemplo, si eliges el doblete del álgebra s tu ( 2 ) terminas con el grupo S tu ( 2 ) mientras que al elegir el triplete obtienes S O ( 3 ) . El primer grupo de simetría puede dar transformaciones de espín y el segundo puede dar transformaciones de momento angular orbital.
He leído en varios comentarios y enlaces que el factor "i" es irrelevante. Esta es precisamente mi pregunta. ¿Cómo es posible obtener la cuantización sin este factor? La prueba de la "escalera" no parece sostenerse. De hecho, todavía puedo hacer la prueba de escalera, pero los valores propios se vuelven imaginarios.

Respuestas (1)

su(2) y so(3) El álgebra de mentira es homomórpica, por lo que si redefine L por un factor "- i "entonces obtienes el so (3). Pero el grupo SU (2) es un grupo de cobertura para SO (3). Sus matrices de representación de dimensión impar corresponden a todas las matrices de representación SO (3), lo que significa que SO (3) no tiene par representaciones de dimensión Entonces, para partículas con momento angular entero, por supuesto, puede usar SO (3), pero para giros de medio entero, como los fermiones de giro 1/2, debe usar la representación SU (2). En total, usando SU (2) es válido para todos los casos, mientras que SO (3) no. Entonces, ¿esto puede darte una idea?

Cuantización del momento angular en SO(3)SO(3)SO(3)
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