¿Existe una relación entre el espín y el grupo de espín?

En la Mecánica Cuántica, el espín aparece como un tipo de momento angular. De hecho, en Mecánica Cuántica un momento angular en el espacio de estado mi es un triplete de observables j = ( j 1 , j 2 , j 3 ) tal que

[ j i , j j ] = i ℏ ϵ i j k j k .

De esta definición general se deduce que j 2 = ∑ i j i 2 y j 3 conmutan, y luego consideramos sus vectores propios comunes | k , j , metro ⟩ definido por las ecuaciones

j 2 | k , j , metro ⟩ = j ( j + 1 ) ℏ 2 | k , j , metro ⟩ ,
j 3 | k , j , metro ⟩ = metro ℏ | k , j , metro ⟩ .

Entonces mostramos que j ≥ 0 y j es un entero o medio entero, y para un dado j , los únicos valores posibles para metro son − j , − j + 1 , … , j − 1 , j .

Ahora bien, desde un punto de vista físico, el espín es una propiedad intrínseca de las partículas que se observó experimentalmente en experimentos como el de Stern-Gerlach y que debería tenerse en cuenta teóricamente.

Luego, las observaciones conducen a la "mitad de giro" habitual, que se define teóricamente como el caso especial del momento angular. S cuyo único valor para s es s = 1 / 2 y por lo tanto tenemos metro = ± 1 / 2 . En ese caso, generalmente consideramos el "espacio de estado de giro" como el espacio de estado mi S donde el conjunto { S 2 , S z } es un conjunto completo de observables que viajan diariamente y, por lo tanto, tiene una dimensión 2 con base compuesta por | + ⟩ = | 1 / 2 , 1 / 2 ⟩ y | − ⟩ = | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ .

Por otro lado tenemos el llamado grupo de espín, denotado Girar ⁡ ( norte ) definida como la "doble cubierta del grupo ortogonal especial ENTONCES ⁡ ( norte ) " tal que hay una secuencia exacta corta de grupos de Lie:

1 → Z 2 → Girar ⁡ ( norte ) → ENTONCES ⁡ ( norte ) → 1.

Ahora bien, esta definición del grupo de espín es demasiado abstracta, pero creo que hay una conexión entre ella y el espín de la Mecánica Cuántica. Esto se sugiere en primer lugar por el nombre del grupo y en segundo lugar porque tanto el espín como el grupo de espín están relacionados de alguna manera con las rotaciones.

Como un momento angular, el espín es un generador de rotaciones, mientras que Girar ⁡ ( norte ) se define en términos del grupo de rotaciones.

Entonces, ¿existe una relación entre el espín de la Mecánica Cuántica y el grupo de espín? ¿Cómo podemos entender esta relación intuitivamente y cómo esta relación está conectada a esta definición demasiado abstracta de Girar ⁡ ( norte ) ?

Respuestas (2)

En mecánica cuántica, las representaciones relevantes de los grupos de simetría en el espacio de estados no son nuestra representación lineal habitual, sino representaciones proyectivas en el espacio de Hilbert. Las representaciones proyectivas de un grupo de Lie semisimple - como el grupo de rotación S O ( norte ) - están en biyección a las representaciones lineales de su cobertura universal. Para una discusión detallada y una derivación de estos hechos, vea estas preguntas y respuestas mías . La "intuición" para la apariencia de la representación proyectiva es que los estados realmente no son vectores sino rayos en el espacio de Hilbert y, por lo tanto, "las fases no importan".

Ahora, el grupo de rotación en norte > 2 dimensiones tiene grupo fundamental Z / 2 Z , lo que significa que su cubierta universal es solo una cubierta doble. Por lo tanto, en norte > 2 dimensiones, el grupo de espín es, por definición, su doble cubierta y, por lo tanto, el grupo que necesitamos representar linealmente en el espacio de Hilbert para tener una representación proyectiva del grupo de rotación. Nuestro amado "giro" semientero s ahora no es más que el número que etiqueta de forma única una representación lineal irreducible de S pag i norte ( 3 ) por L X 2 + L y 2 + L z 2 = s ( s + 1 ) .

Hola, perdón por ser ingenuo, pero es Spin(3) entonces solo S tu ( 2 ) ?
@ usuario2723984 Sí.

El grupo de espín está relacionado con los objetos de mitad de espín, llamados espinores. Si rotas un espinor 360 grados, obtienes el negativo del espinor con el que comenzaste. Ahora sería bueno si pudieras representar la acción de esta rotación diciendo que un elemento de S O ( norte ) está actuando sobre el espinor. Sin embargo, esto no se puede hacer porque una rotación de 360 ​​grados es lo mismo que el elemento de identidad de S O ( norte ) , por lo que la acción de esta rotación debe ser dejar invariante al espinor, al contrario de lo que sabemos que sucede. Por lo tanto, no hay manera de representar con precisión la acción de S O ( norte ) rotaciones sobre un espinor.

Sin embargo, si tuviera un grupo más grande, donde una rotación de 360 ​​grados no lo llevara de vuelta al elemento de identidad, entonces podría establecer una correspondencia uno a uno entre los elementos de este grupo más grande y la transformación lineal que provoca. sobre espinores.

El grupo de giro es este grupo más grande. Dado que el grupo de espín es una doble cubierta de S O ( norte ) , una rotación de 360 ​​grados solo lo lleva a la mitad del grupo de espín, por lo que el elemento del grupo correspondiente a una rotación de 360 ​​grados no está obligado a actuar como la identidad en el espín, sino que puede multiplicar el espín por − 1 , como debería.

Entonces, para resumir, puede hacer un grupo de todas las rotaciones finitas que se pueden aplicar a un espinor. este grupo no es S O ( norte ) , ya que la rotación de identidad y una rotación de 360 ​​grados actúan de manera diferente en el espinor pero son iguales en S O ( norte ) . Entonces, el grupo de rotaciones finitas que se pueden aplicar a un espinor debe ser mayor que S O ( norte ) . De hecho, este grupo resulta ser el grupo de giro, que es una doble cubierta de S O ( norte )

Así que el remate es, si quieres estudiar girar en norte dimensiones espaciales, estudiar las representaciones de Girar ( norte ) ?
Me parece que acabas de cambiar la pregunta a por qué diablos deberíamos considerar los espinores.
@knzhou Sí, creo que es correcto.
@ACuriousMind Interpreté su pregunta por cuál es la relación entre el grupo de espín y los espinores, y supuse que ya entendía que los espinores eran necesarios para describir las partículas de espín 1/2. Así que no entré en la pregunta de por qué necesitamos espinores en primer lugar.
¿Existe una relación entre el espín y el grupo de espín?
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