En el tratamiento de Weinberg de las simetrías, ¿está realmente considerando un grupo abstracto subyacente?

Estoy estudiando los libros QFT de Weinberg, y con respecto a las simetrías, estoy bastante confundido acerca de la distinción entre un grupo y sus representaciones en la presentación de Weinberg.

1. En primer lugar, Weinberg afirma que las transformaciones de simetría son transformaciones de rayos que conservan las probabilidades$P(\mathscr{R}\to \mathscr{R}_n)$definido para un rayo$\mathscr{R}$y una familia de rayos mutuamente ortogonales$\mathscr{R}_n$ser

   $$P(\mathscr{R}\to \mathscr{R}_n)=|(\Psi,\Psi_n)|^2,\quad \forall\Psi\in \mathscr{R},\Psi_n\in \mathscr{R}_n.\tag{2.1.7}$$

   Luego señala (p. 52) que:

   El conjunto de transformaciones de simetría tiene ciertas propiedades que lo definen como grupo . Si$T_1$es una transformación que toma rayos$\mathscr{R}_n$en$\mathscr{R}_n'$y$T_2$es otra transformación que toma$\mathscr{R}_n'$en$\mathscr{R}_n''$, entonces el resultado de realizar ambas transformaciones es otra transformación de simetría, que escribimos$T_2T_1$, eso toma$\mathscr{R}_n$en$\mathscr{R}_n''$. Además, una transformación de simetría$T$que toma rayos$\mathscr{R}_n$en$\mathscr{R}_n'$tiene un inverso escrito$T^{-1}$el cual toma$\mathscr{R}_n'$en$\mathscr{R}_n$y hay una transformación de identidad$T =1$que deja los rayos sin cambios.

2. También establece el teorema de Wigner que establece que las transformaciones de simetría definidas anteriormente se pueden realizar mediante operadores unitario lineal o antiunitario y antimentiroso en el espacio de Hilbert.$\mathscr{H}$. En su notación, para cada transformación de simetría$T$se obtiene un operador unitario$U(T)$. Entonces Weinberg demuestra que

   $$U(T_2)U(T_1)=e^{i\phi(T_2,T_1)}U(T_2T_1), \tag{2.2.14}$$

Diciendo que$U(T)$es una representación proyectiva de las transformaciones de simetría.

Después de este resumen, aquí están mis preguntas:

Entonces, por (1) arriba, para tratar con simetrías, Weinberg en realidad está considerando implícitamente que hay un grupo$G$tal que tenemos un homomorfismo$T$cartografía$G$en el grupo de transformaciones de rayos?

En otras palabras, por cada$g \in G$tenemos$T(g)$una transformación de rayo. Al imponer el requisito de simetría por (2) arriba, tenemos que todos$T(g)$desciende a uno$U(T(g))$y estos$U(T(g))$formar una representación proyectiva de$G$.

Por eso al final se olvida$T$en conjunto y directamente trabaja con representaciones proyectivas de$G$en el espacio de estados de Hilbert. ¿Es asi?

La principal diferencia entre lo que estoy escribiendo y Weinberg es que estoy tratando de abstraer un grupo de sus representaciones.

Así que supongo que hay un grupo subyacente$G$de simetrías, que dan lugar a las transformaciones de rayo y luego a las representaciones proyectivas, mientras que Weinberg parece identificar$G$con las propias transformaciones de rayo.

¿Es correcto mi punto de vista de considerar que hay un grupo abstracto detrás de todo esto? ¿O en realidad no hay ningún grupo detrás de las transformaciones de rayos, y Weinberg en realidad está definiendo un grupo con las propias transformaciones de rayos?