¿Existe una explicación intuitiva para el hecho de que las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo formen una base completa?

La "ecuación de Schrödinger independiente del tiempo" es solo una ecuación para los valores propios y los vectores propios del operador hamiltoniano en el espacio de estados de Hilbert (típicamente$L^2(\mathbb{R}^3,\mathrm{d}x)$, el "espacio de funciones de onda")

El teorema espectral nos dice que los vectores propios de cualquier operador autoadjunto forman una base para el espacio en el que vive el operador, por lo que siempre que su hamiltoniano sea autoadjunto, esto se mantendrá. (Se debe tener cuidado: los hamiltonianos utilizados en física solo pueden ser esencialmente autoadjuntos , o simplemente hermitianos)

Entonces, no hay nada especial en la "ecuación de Schrödinger independiente del tiempo": los vectores propios de otros observables autoadjuntos también forman tales bases. No existe una "intuición" para esto porque es solo una consecuencia general del hecho/axioma de que los observables de la mecánica cuántica suelen ser autoadjuntos. También puede elegir operadores autoadjuntos que no modelen ningún observable físico, y aun así obtiene esto.

Es un teorema matemático que los operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert tienen un espectro completo.

Tenga en cuenta que "auto-adjunto" tiene un significado matemático especial. No todos los operadores simétricos hermitianos son autoadjuntos. Por ejemplo, el hamiltoniano de Schrödinger libre 1D en un intervalo abierto sin condiciones de contorno no es autoadjunto. La razón es que podemos elegir condiciones de contorno periódicas con diferentes cambios de fase. Diferentes opciones definen diferentes operadores autoadjuntos con diferentes funciones propias y valores propios. Algunos potenciales no definen los hamiltonianos de Schrödinger autoadjuntos. Puede ser difícil probar si un potencial dado lo hace.