¿Operador estrella de Hodge en la curvatura?

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¿Operador estrella de Hodge en la curvatura?

Física
curvatura
yang-mills
teoría de calibre
cálculo tensorial
geometría diferencial

Cazador

Tengo una pregunta sobre el operador estrella de Hodge. Soy completamente nuevo en la noción de derivados exteriores y productos de cuña. Tuve que enseñármelo a mí mismo durante los últimos días, así que espero que mi pregunta no sea trivial.

Encontré las siguientes fórmulas en Internet, que parecen coincidir con las definiciones de los dos libros (Carroll y Baez & Muniain) que tengo. para un general $p$ -formar en un $n$ -variedad dimensional:

v = \frac{1}{pag!} v_{i_{1} \dots i_{pag}} d X^{i_{1}} \land \dots \land d X^{i_{pag}}

$\begin{equation} v=\frac{1}{p!} v_{i_1 \ldots i_p} \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{equation}$

el operador de Hodge se define para actuar sobre la base de la $p$ -formar de la siguiente manera:

* (d X^{i_{1}} \land \dots \land d X^{i_{pag}}) = \frac{1}{q!} {\tilde{ε}}_{j_{1}, \dots, j_{q}}^{i_{1}, \dots, i_{pag}} d X^{j_{1}} \land \dots \land d X^{j_{q}}

$\begin{equation} *\left( \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) = \frac{1}{q!} \tilde{ \varepsilon}_{j_1,\ldots,j_q}{}^{i_1,\ldots,i_p} \mathrm{d} x^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{j_q} \end{equation}$

dónde $q=n-p$ y $\tilde{ \varepsilon}$ es el tensor Levi-Civita. Hasta aquí todo bien, logré hacer algunos ejercicios y obtuve las respuestas correctas. Sin embargo, tratar de calcular la curvatura me causa algunos problemas.

Para dar un poco de trasfondo. Estoy trabajando con una curvatura en una teoría de Yang-Mills en coordenadas esféricas $(r, \theta, \varphi)$ . Usando la transformación de calibre, me deshice de la dependencia del tiempo, $r$ dependencia y $\theta$ dependencia. Por lo tanto, la curvatura viene dada por:

F = \partial_{θ} A_{φ} d θ \land d φ

$\begin{equation} F = \partial_\theta A_{ \varphi} \; \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d} \varphi \end{equation}$

Aplicando el operador de Hodge según la fórmula anterior se obtiene:

* (d θ \land d φ) = \frac{1}{(3 - 2)!} {\tilde{ε}}^{θ φ}_{r} d r = d r

$\begin{equation} * \left(\mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{d} \varphi\right) = \frac{1}{(3-2)!} \tilde \varepsilon^{\theta \varphi}{}_r ~\mathrm{d}r=\mathrm{d}r \end{equation}$

tal que:

* F = (\partial_{θ} A_{φ}) d r

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \mathrm{d} r \end{equation}$

Sin embargo, tres fuentes diferentes dan una fórmula diferente. En concreto dan:

* F = (\partial_{θ} A_{φ}) \frac{1}{r^{2} pecado θ} d r

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \frac{1}{r^2 \sin \theta} \mathrm{d} r \end{equation}$

No me queda claro de dónde sacan esto. Algo se está mencionando sobre el hecho de que la forma de volumen natural es $\sqrt{g} \; \mathrm{d} r \wedge \mathrm{d} \varphi \wedge \mathrm{d} \theta$ con $\sqrt{g}=r^2 \sin \theta$ , con lo que estoy de acuerdo. Sin embargo, no entiendo por qué se incorpora ese término en el operador de Hodge.

Baez y Muniain definen el operador de Hodge como:

ω \land * m = ⟨ ω, m ⟩ v o yo

$\begin{equation} \omega \wedge * \mu = \langle \omega , \mu \rangle \mathrm{vol} \end{equation}$

Pero no veo cómo se aplica esa fórmula para calcular el operador de Hodge en la curvatura. ¿Alguien podría decirme dónde me estoy equivocando o proporcionarme una fuente donde expliquen esto?

Respuestas (3)

¿Operador estrella de Hodge en la curvatura?

qmecanico · Answer 1

Parece que la resolución de la pregunta de OP radica en la diferencia entre

el símbolo de Levi-Civita $[\mu_1,\ldots,\mu_d]$ , que no es un tensor (sino un $(d,0)$ densidad tensorial ) y cuyos valores son sólo $0$ y $\pm 1$ ; y
el tensor de Levi-Civita $^1$
$ε^{m_{1}, \dots, m_{d}} = \pm \frac{[m_{1}, \dots, m_{d}]}{\sqrt{| gramo |}}, ε_{m_{1}, \dots, m_{d}} = \pm \sqrt{| gramo |} [m_{1}, \dots, m_{d}],$ $\varepsilon^{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \frac{[\mu_1,\ldots,\mu_d]}{\sqrt{|g|}} , \qquad \varepsilon_{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \sqrt{|g|}[\mu_1,\ldots,\mu_d] ,$ cuya definición difiere del símbolo Levi-Civita por un factor de $\sqrt{|g|}\equiv \sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|}$ .

--

$^1$ El $\pm$ se incluye para reconocer que diferentes autores tienen diferentes convenciones.

Tushar Gopalka · Answer 2

Cuando trabajemos en notación de índice, debemos tener en cuenta que debemos obtener fórmulas que sean adecuadamente covariantes bajo transformaciones de coordenadas generales. Por lo tanto, deberíamos usar estas fórmulas generales cuando trabajemos con notación de índice:

Puedes ver cómo la métrica inversa y el factor determinante de la métrica conspiran para darte el factor correcto de $\frac{1}{r^2 sin(\theta)}$ .

Ruma Dutta · Answer 3

El operador estrella de Hodge en un espacio vectorial V es un operador lineal en el álgebra exterior de V mapeando k vectores a (nk) vectores con n = dim V . Entonces, dados dos k vectores a, b; a /\ *b = < a b> w. Entonces trae k vector fuera de k dim de k espacio vectorial. Entonces, en su espacio vectorial de curvatura entre theta y phi, tomó el producto interno y luego lo proyectó en el espacio exterior multiplicando por el vector unitario apropiado.

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