Ordenación temporal y derivada temporal en formalismo de integral de trayectoria y formalismo de operador

Question

Ordenación temporal y derivada temporal en formalismo de integral de trayectoria y formalismo de operador

Física
operadores
integral de trayectoria
greens-funciones
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

jia yiyang

En el formalismo del operador, por ejemplo, una función de Green ordenada en el tiempo de 2 puntos se define como

⟨ T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ⟩_{o pags} = θ (X_{1} - X_{2}) ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) + θ (X_{2} - X_{1}) ϕ (X_{2}) ϕ (X_{1}),

$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\theta(x_1-x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)+\theta(x_2-x_1)\phi(x_2)\phi(x_1),$

donde el subíndice "op" y "pi" se refieren al operador y al formalismo de integral de ruta, respectivamente. Ahora bien, si uno va a tomar una derivada del tiempo, el resultado será

\frac{\partial}{\partial X_{1}^{0}} ⟨ T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ⟩_{o pags} = ⟨ T \frac{\partial ϕ (X_{1})}{\partial X_{1}^{0}} ϕ (X_{2}) ⟩_{o pags} + d (X_{1}^{0} - X_{2}^{0}) [ϕ (X_{1}), ϕ (X_{2})],

$\frac{\partial}{\partial x_1^0}\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\langle\mathcal{T}{\frac{\partial \phi(x_1)}{\partial x_1^0}}\phi(x_2)\rangle_{op}+\delta(x_1^0-x_2^0)[\phi(x_1),\phi(x_2)],$

la función delta proviene de diferenciar las funciones theta. Esto significa que la derivada temporal no conmuta con la ordenación temporal.

Si consideramos el formalismo de la integral de trayectoria, la función de Green ordenada en el tiempo se define como

⟨ T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ⟩_{pags i} = \int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) {mi}^{i S (ϕ)} .

$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{pi}=\int\mathcal{D}\phi\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}.$

por supuesto

⟨ T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ⟩_{o pags} = ⟨ T ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ⟩_{pags i},

$\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{op}=\langle\mathcal{T}\phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{pi},$

como se demuestra en cualquier libro de texto QFT. Sin embargo, en el caso de la integral de ruta, la derivada del tiempo conmuta con el orden del tiempo, porque no tenemos nada como una función theta, por lo tanto

\frac{\partial}{\partial X_{1}^{0}} \int D ϕ ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) {mi}^{i S (ϕ)} = \int D ϕ \frac{\partial}{\partial X_{1}^{0}} ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) {mi}^{i S (ϕ)} .

$\frac{\partial}{\partial x_1^0}\int\mathcal{D}\phi\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}=\int\mathcal{D}\phi\frac{\partial}{\partial x_1^0}\phi(x_1)\phi(x_2)e^{iS(\phi)}.$

Busqué un poco en Google y descubrí que para el caso de integral de ruta, el producto ordenado por tiempo se llama " $\mathcal{T^*}$ producto" y caso de operador simplemente " $\mathcal{T}$ producto".

No estoy tan interesado en lo que está causando la diferencia (todavía se agradecen las explicaciones sobre esto), porque ya puedo ver vagamente que se debe a algún tipo de ambigüedad al definir el producto de los campos al mismo tiempo. La pregunta que me interesa es, ¿cuál es la adecuada para calcular los diagramas de Feynman?

Encontré un caso en el que ambos dan el mismo resultado, es decir, escalar QED (cf. Itzykson & Zuber, sección 6-1-4 y esta publicación ), pero ¿siempre es así? Si estas dos formulaciones no son efectivamente equivalentes, entonces parece que cada vez que escribimos algo como $\langle\partial_0\phi\cdots\rangle$ , tenemos que especificar si es en el sentido de la definición de integral de ruta o de definición de operador.

EDITAR: por mucho que disfrute la respuesta del usuario 1504, después de pensar y leer un poco más, no creo que la continuación analítica sea todo el misterio. En Peskin & Schroeder, capítulo 9.6, logran usar la integral de trayectoria para obtener un resultado equivalente al enfoque del operador, sin ninguna referencia a la continuación analítica. Dice así: Considere un $T$ -producto para campo KG gratis

⟨ T {ϕ (X) ϕ (X_{1})} ⟩ = \int D ϕ ϕ (X) ϕ (X_{1}) {mi}^{i S (ϕ)} .

$\langle T\{\phi(x)\phi(x_1)\}\rangle=\int\mathcal{D}\phi\phi(x)\phi(x_1)e^{iS(\phi)}.$ Aplicando la ecuación de Dyson-Schwinger, obtenemos

\int D ϕ (\partial^{2} + {metro}^{2}) ϕ (X) ϕ (X_{1}) {mi}^{i S} = - i d^{4} (X - X_{1}),

$\int\mathcal{D}\phi(\partial^2+m^2)\phi(x)\phi(x_1)e^{iS}=-i\delta^4(x-x_1),$

entonces simplemente asumen el $\partial^2$ viajan con la integración de ruta (que ya es extraño según nuestra discusión) y concluyen

(\partial^{2} + {metro}^{2}) \int D ϕ ϕ (X) ϕ (X_{1}) {mi}^{i S} = (\partial^{2} + {metro}^{2}) ⟨ T {ϕ (X) ϕ (X_{1})} ⟩ = - i d^{4} (X - X_{1}) .

$(\partial^2+m^2)\int\mathcal{D}\phi\phi(x)\phi(x_1)e^{iS}=(\partial^2+m^2)\langle T\{\phi(x)\phi(x_1)\}\rangle=-i\delta^4(x-x_1).$

Este es el resultado correcto dado por el enfoque del operador, en el que $\delta(x^0-x_1^0)$ viene de $\theta$ función. Dado mi conocimiento limitado sobre el tema, esta consistencia me parece casi un milagro. ¿Qué hay tan perverso detrás de estas matemáticas?

Respuesta a @drake : Si $a$ es un infinitesimal positivo, entonces

\int \dot{A} (t) B (t) {mi}^{i S} \equiv \int D ϕ \frac{A (t + a) - A (t)}{a} B (t) {mi}^{i S} = \frac{1}{a} ⟨ T {A (t + a) B (t)} ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩,

$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}\equiv\int D\phi\, {A(t+a)-A(t)\over a}B(t)\,e^{iS}=\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle,$

observe que el segundo término tiene una ambigüedad de orden de la integral de trayectoria (digamos $A=\dot{\phi},B=\phi$ ), y podemos hacerlo en el orden que queramos eligiendo una discretización de tiempo adecuada, cf. la publicación de Ron Maimon citada por drake. Teniendo esto en cuenta procedemos:

\frac{1}{a} ⟨ T {A (t + a) B (t)} ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩ = \frac{1}{a} θ (a) ⟨ A (t + a) B (t) ⟩ + \frac{1}{a} θ (- a) ⟨ B (t) A (t + a) ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩ = \frac{1}{a} θ (a) ⟨ A (t + a) B (t) ⟩ + \frac{1}{a} [1 - θ (a)] ⟨ B (t) A (t + a) ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩ = \frac{θ (a)}{a} ⟨ [A (t + a), B (t)] ⟩ + \frac{1}{a} [⟨ B (t) A (t + a) ⟩ - ⟨ A (t) B (t) ⟩] .

$\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{1}{a}\theta(a)\langle A(t+a)B(t)\rangle+\frac{1}{a}\theta(-a)\langle B(t)A(t+a)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{1}{a}\theta(a)\langle A(t+a)B(t)\rangle+\frac{1}{a}[1-\theta(a)]\langle B(t)A(t+a)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle\\=\frac{\theta(a)}{a}\langle [A(t+a),B(t)]\rangle+\frac{1}{a}[\langle B(t)A(t+a)\rangle-\langle A(t)B(t)\rangle].$

Ahora aprovechando la ambigüedad de orden del último término para hacerlo $\langle B(t)A(t)\rangle$ (esto equivale a definir $A$ usando la discretización hacia atrás, digamos $A=\dot{\phi}(t)=\frac{\phi(t+\epsilon^-)-\phi(t)}{\epsilon^-}$ ), luego finalmente:

\frac{θ (a)}{a} ⟨ [A (t + a), B (t)] ⟩ + \frac{1}{a} ⟨ B (t) [A (t + a) - A (t) ⟩] \to \frac{1}{2 a} ⟨ [A (t), B (t)] ⟩ + ⟨ B (t) \dot{A} (t) ⟩ .

$\frac{\theta(a)}{a}\langle [A(t+a),B(t)]\rangle+\frac{1}{a}\langle B(t)[A(t+a)-A(t)\rangle]\to \frac{1}{2a}\langle [A(t),B(t)]\rangle+\langle B(t)\dot{A}(t)\rangle.$

(Aquí nuevamente un paso muy dudoso, para obtener $\frac{1}{2a}$ tenemos que asumir $\theta(a\to 0^+)=\theta(0)=\frac{1}{2}$ , pero esto realmente no es cierto porque $\theta$ es discontinuo).

Sin embargo, por otro lado, desde $a$ se definió como un infinitesimal positivo, al principio podríamos haber escrito

\frac{1}{a} ⟨ T {A (t + a) B (t)} ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩ = \frac{1}{a} ⟨ A (t + a) B (t) ⟩ - \frac{1}{a} ⟨ A (t) B (t) ⟩,

$\frac{1}{a}\langle T\{A(t+a)B(t)\}\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle=\frac{1}{a}\langle A(t+a)B(t)\rangle-\frac{1}{a}\langle A(t)B(t)\rangle,$

entonces toda la derivación anterior no funciona. Estoy seguro de que hay más paradojas si seguimos haciendo estas manipulaciones.

Trimok

Creo que el problema es que no se puede representar un conmutador de 2 operadores a la vez, mediante una representación integral de camino (sería cero), pero esto no quiere decir que la derivada y la integral conmuten en el formalismo de integral de camino. Estos son formalismo equivalente:

\int d ϕ ϕ (x) ϕ (y) e^{i \int_{0}^{T} d t L (ϕ, t)} = ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (x), \hat{ϕ} (y)] e^{- i \hat{H} T} | 0 ⟩

$\int d\phi ~\phi(x)~\phi(y) ~e^{i\int_0^T dt L(\phi,t)} =\langle 0|T[\hat \phi(x),\hat \phi(y)]e^{-i \hat HT}|0\rangle$

jia yiyang

@Trimok: Tal vez mi ejemplo no sea tan bueno porque

[ϕ (x_{1}), ϕ (x_{2})]

$[\phi(x_1),\phi(x_2)]$ es de hecho 0 en el mismo tiempo. es mejor considerar

[ϕ (x_{1}), \dot{ϕ} (x_{2})]

$[\phi(x_1),\dot{\phi}(x_2)]$ , en este caso, la integral de ruta también puede dar un resultado distinto de cero con este argumento: en.wikipedia.org/wiki/…

bebop pero inestable

Esto puede parecer extraño, pero creo que en realidad es la misma ambigüedad que en physics.stackexchange.com/q/69828 . No es muy transparente, pero consulte la Sección II de doi.org/10.1103/PhysRevD.3.2486 para ver un ejemplo en el que la derivada no debe conmutar con la integral de trayectoria. En términos de operaciones prácticas, el mejor consejo parece ser "trabajar la formulación hamiltoniana". No hay derivadas de tiempo en este caso y luego puedes integrar los momentos al final.

Trimok

@JiaYiyang: cuando deriva un producto ordenado por tiempo, siempre tiene el último término que se parece a

⟨ 0 | δ (x_{0} - y_{0}) [A (x), B (y)] e^{i S} | 0 ⟩

$\langle0|\delta(x_0-y_0)[A(x), B(y)]e^{iS}|0\rangle$ . Y este término, no importa

A

$A$ y

B

$B$ son, no se pueden representar mediante una integral de trayectoria. Pero este término no es nulo, incluso si no puede ser representado por una integral de trayectoria. De modo que la derivada y la integral (en el formalismo de la integral de trayectoria) no se conmutan, incluso si la diferencia (no nula) no puede representarse mediante una integral de trayectoria.

Diego Mazón

Hola @JiaYiyang. No, no es así. La primera línea debe ser

1 / a

$1/a$ veces

A (t + a) B (t) - θ (0) (A (t) B (t) + B (t) A (t))

$A(t+a)B(t)- \theta(0) (A(t)B(t)+B(t)A(t))$ y luego usar o definir

θ (0) = 1 / 2

$\theta(0)=1/2$ , lo que en mi opinión es totalmente correcto. Como no le gusta tomar este valor para

θ (0)

$\theta (0)$ , escribiré una derivación sin usarla.

jia yiyang

@drake: Ok, entonces estás definiendo

\int A (t) B (t) e^{i S} = \frac{1}{2} (A (t) B (t) + B (t) A (t))

$\int A(t) B(t) \,e^{iS}=\frac{1}{2}(A(t)B(t)+B(t)A(t))$ , esto en realidad significa que está usando una discrecionalidad centrada de

A (t)

$A(t)$ (decir

A (t) = \dot{ϕ} (t))

$A(t)=\dot\phi(t))$ ), esto es bastante artificial porque al definir

\dot{A}

$\dot A$ estamos utilizando una discretización directa. Esta falta de naturalidad es la misma que en mi derivación que definí

A

$A$ usando la discretización hacia atrás mientras

\dot{A}

$\dot A$ se define mediante la discretización directa.

jia yiyang

@drake: En caso de cualquier falta de comunicación, reenviar significa

\frac{1}{a} (ϕ (t + a) - ϕ (t))

$\frac{1}{a}(\phi(t+a)-\phi(t))$ , hacia atrás significa

\frac{1}{a} (ϕ (t) - ϕ (t - a))

$\frac{1}{a}(\phi(t)-\phi(t-a))$ , centrado significa

\frac{1}{2 a} (ϕ (t + a) - ϕ (t - a))

$\frac{1}{2a}(\phi(t+a)-\phi(t-a))$

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/74795/2451 , physics.stackexchange.com/q/359961/2451

Respuestas (2)

Ordenación temporal y derivada temporal en formalismo de integral de trayectoria y formalismo de operador

Creo que el problema es que no se puede representar un conmutador de 2 operadores a la vez, mediante una representación integral de camino (sería cero), pero esto no quiere decir que la derivada y la integral conmuten en el formalismo de integral de camino. Estos son formalismo equivalente: $\int d\phi ~\phi(x)~\phi(y) ~e^{i\int_0^T dt L(\phi,t)} =\langle 0|T[\hat \phi(x),\hat \phi(y)]e^{-i \hat HT}|0\rangle$
@Trimok: Tal vez mi ejemplo no sea tan bueno porque $[\phi(x_1),\phi(x_2)]$ es de hecho 0 en el mismo tiempo. es mejor considerar $[\phi(x_1),\dot{\phi}(x_2)]$ , en este caso, la integral de ruta también puede dar un resultado distinto de cero con este argumento: en.wikipedia.org/wiki/…
Esto puede parecer extraño, pero creo que en realidad es la misma ambigüedad que en physics.stackexchange.com/q/69828 . No es muy transparente, pero consulte la Sección II de doi.org/10.1103/PhysRevD.3.2486 para ver un ejemplo en el que la derivada no debe conmutar con la integral de trayectoria. En términos de operaciones prácticas, el mejor consejo parece ser "trabajar la formulación hamiltoniana". No hay derivadas de tiempo en este caso y luego puedes integrar los momentos al final.
@JiaYiyang: cuando deriva un producto ordenado por tiempo, siempre tiene el último término que se parece a $\langle0|\delta(x_0-y_0)[A(x), B(y)]e^{iS}|0\rangle$ . Y este término, no importa $A$ y $B$ son, no se pueden representar mediante una integral de trayectoria. Pero este término no es nulo, incluso si no puede ser representado por una integral de trayectoria. De modo que la derivada y la integral (en el formalismo de la integral de trayectoria) no se conmutan, incluso si la diferencia (no nula) no puede representarse mediante una integral de trayectoria.
Hola @JiaYiyang. No, no es así. La primera línea debe ser $1/a$ veces $A(t+a)B(t)- \theta(0) (A(t)B(t)+B(t)A(t))$ y luego usar o definir $\theta(0)=1/2$ , lo que en mi opinión es totalmente correcto. Como no le gusta tomar este valor para $\theta (0)$ , escribiré una derivación sin usarla.
@drake: Ok, entonces estás definiendo $\int A(t) B(t) \,e^{iS}=\frac{1}{2}(A(t)B(t)+B(t)A(t))$ , esto en realidad significa que está usando una discrecionalidad centrada de $A(t)$ (decir $A(t)=\dot\phi(t))$ ), esto es bastante artificial porque al definir $\dot A$ estamos utilizando una discretización directa. Esta falta de naturalidad es la misma que en mi derivación que definí $A$ usando la discretización hacia atrás mientras $\dot A$ se define mediante la discretización directa.
@drake: En caso de cualquier falta de comunicación, reenviar significa $\frac{1}{a}(\phi(t+a)-\phi(t))$ , hacia atrás significa $\frac{1}{a}(\phi(t)-\phi(t-a))$ , centrado significa $\frac{1}{2a}(\phi(t+a)-\phi(t-a))$
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/74795/2451 , physics.stackexchange.com/q/359961/2451

usuario1504 · Answer 1

EDITAR: Dejo esto como lectura de fondo para la respuesta de @ drake. (El punto de lo siguiente es que la integral de trayectoria de hecho da el orden de tiempo correcto, por lo que está produciendo el correcto $\theta$ - función ponderada, sumas ordenadas en el tiempo, que deben tenerse en cuenta al diferenciar su salida).

Los dos formalismos son equivalentes; si no dan el mismo resultado, algo falla en el cálculo. Para ver esto, debe comprender una sutileza que generalmente no se explica bien en los libros de texto, a saber, que la integral de trayectoria no se define simplemente tomando el límite de un grupo de integrales de la forma $\int_{\mbox{lattice fields}} e^{iS(\phi)} d\phi$ .

El problema es que estas integrales de dimensión finita no son absolutamente convergentes, porque $|e^{iS(\phi)}| = 1$ . Para definir incluso la integral de trayectoria de celosía en la firma de Minkowski, debe especificar alguna información adicional, para decir exactamente qué se entiende por integral.

En QFT, la información adicional que desea es que la integral de ruta debe calcular el núcleo del operador de evolución temporal $e^{iH\delta t}$ , que es una función analítica de $\delta t$ . Este hecho generalmente se expresa diciendo que la integral de trayectoria de firma de Minkowski es la continuación analítica de una integral de trayectoria de firma euclidiana: La integral de trayectoria euclidiana $n$ -funciones puntuales $E(y_1,...,y_n)$ definido por

$E(y_1,...,y_n) = \int \phi(y_1)...\phi(y_n) e^{-S_E(\phi)} d\phi$

son funciones analíticas de los puntos euclidianos $y_i \in \mathbb{R}^d$ . Esta función $E$ puede ser continuado a una función $A(z_1,...,z_n)$ de $n$ variables complejas $z_i \in \mathbb{C}^d$ . Esta función analítica $A$ no se extiende a todo el plano; tiene singularidades y varias ramas diferentes. Cada rama corresponde a una elección diferente de ordenamiento temporal. Una rama es la opción correcta, otra opción es el orden del tiempo del 'signo incorrecto'. Otras opciones tienen signos incorrectos solo en algunos subconjuntos de los puntos. si restringes $A$ al conjunto $B$ de puntos límite de la rama correcta, obtendrá la firma de Minkowski $n$ -funciones puntuales $A|_B = M$ , dónde $M(x_1,...,x_n) = \langle \hat{\phi}(x_1)...\hat{\phi}(x_n)\rangle_{op}$ y el $x_i$ son puntos en el espacio de Minkowski.

En la teoría de perturbaciones, la mayor parte de este detalle está oculto, y lo único que debe recordar es que el $+i\epsilon$ la prescripción selecciona el orden de tiempo correcto.

+1. No me di cuenta de esta sutileza. Así que supongo que en la integral de ruta el problema es $\partial_0$ no conmuta con continuación analítica? ¿E implica que al diferenciar el tiempo de escritura es más seguro usar la definición del operador de orden T, mientras que en la integral de ruta uno tiene que tomarse la molestia de diferenciar primero en la firma euclidiana y luego continuarla analíticamente? Sería mejor si pudiera hablar más sobre el tema de la derivada del tiempo.
No tengo mucho que añadir sobre las derivadas temporales. Tómelos del lado del operador y tenga en cuenta que pasarlos ingenuamente a través de la integral de trayectoria es peligroso.
Hola. Voté a favor de su pregunta porque creo que todo lo que dice es correcto, sin embargo, creo que no responde la pregunta. ¿Tiene alguna razón por la cual pasar derivadas temporales a través de la integral de trayectoria es tan peligroso? ¿Puedes echar un vistazo a mi respuesta?

Diego Mazón · Answer 2

¡Buena pregunta! Me hizo pensar. Aquí está la respuesta:

Estrictamente hablando, no es posible calcular $\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$ ( notación abreviada: $\langle\,\equiv \langle 0 |\,$ . También tenga en cuenta que estoy omitiendo los argumentos espaciales de los campos ) usando la versión lagrangiana de la integral de ruta, porque para derivar esto, debemos suponer que las inserciones (factores que multiplican $e^{iS}$ en el integrando de la integral de trayectoria) son funcionales de los campos en un momento dado (es decir, son independientes de los momentos $\pi$ ). De este modo,

\partial_{t} [θ (t - t^{'}) ⟨ ϕ (t) ϕ (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t) ⟨ ϕ (t^{'}) ϕ (t) ⟩] = \underset{a \to 0}{límite} \frac{1}{a} [θ (t + a - t^{'}) ⟨ ϕ (t + a) ϕ (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t - a) ⟨ ϕ (t^{'}) ϕ (t + a) ⟩ - θ (t - t^{'}) ⟨ ϕ (t) ϕ (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t) ⟨ ϕ (t^{'}) ϕ (t) ⟩] = \underset{a \to 0}{límite} \frac{1}{a} \int D ϕ (ϕ (t + a) ϕ (t^{'}) - ϕ (t) ϕ (t^{'})) {mi}^{i S} = \int D ϕ \dot{ϕ} (t) ϕ (t^{'}) {mi}^{i S}

$\partial_t \,\left[\theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\lim_{a\to 0}{1\over a}\left[\theta(t+a-t')\langle \phi(t+a)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t-a)\langle \phi (t')\phi (t+a)\rangle - \theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\lim_{a\to 0}{1\over a}\int D\phi\, (\phi(t+a)\phi(t')-\phi(t)\phi(t'))\,e^{iS}=\int D\phi\, \dot\phi(t)\phi(t')\,e^{iS}$

que está de acuerdo con $\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$ sólo si $t\neq t'$ . $^1$

Ejemplo. Dejar $A(t)$ y $B(t)$ dos funcionales en un momento dado, entonces puedes comprobar que

\int \dot{A} (t) B (t) {mi}^{i S} = ⟨ \dot{A} (t) B (t) ⟩ + \underset{a \to 0}{límite} \frac{1}{2 a} ⟨ [A (t), B (t)] ⟩

$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}=\langle\dot A(t)B(t)\rangle+\lim_{a\to 0}{1\over 2a}\langle [A(t),B(t)]\rangle$

El último término representa el delta de Dirac que encontraste después de derivar la función escalonada.

Si bien su pregunta es muy interesante, creo que su ejemplo es desafortunado ya que $\delta (t-t')[\phi(x),\phi(x')]=\delta (t-t')[\phi(t,\vec x),\phi(t,\vec x')]=0$ . Déjame elegir un ejemplo en el que este último conmutador es diferente de cero para mostrar cómo la derivada temporal de una función de correlación se divide en los dos términos que mencionas: $\partial_t \langle \, T\, \phi(t)\,A(t')\,\rangle$ , dónde $A$ es un funcional de campos y momentos en un momento dado. Hagamos una variación general (que no modifique la medida de la integral de trayectoria) de la integral de trayectoria hamiltoniana o fase-espacio ( $S=\int dt\, \dot \phi\,\pi-H \,$ ). Dado que el impulso es una variable de integración, la integral puede no cambiar:

0 = \frac{d}{d π (t)} \int D ϕ D π A (t^{'}) {mi}^{i S} d π = \int D ϕ D π (\frac{d A (t^{'})}{d π (t)} + A (t^{'}) i \dot{ϕ} (t) - A (t^{'}) (- i) \frac{d H (t)}{d π (t)}) {mi}^{i S} d π

$0={\delta\over \delta \pi (t)}\int D\phi D\pi \, A(t')\,e^{iS}\,\delta \pi=\\ \int D\phi D\pi\, \left( {\delta A(t')\over \delta \pi (t)}+A(t')i\dot\phi (t)-A(t')(-i){\delta H (t)\over \delta \pi (t)}\right)\,e^{iS}\,\delta \pi$

Como $\delta \pi$ es una variación general y:

\frac{d A (t^{'})}{d π (t)} = d (t - t^{'}) (- i) [ϕ (t), A (t^{'})]

${\delta A(t')\over \delta \pi (t)}=\delta(t-t')(-i)\,[\phi(t),A(t')]$

\frac{d H (t)}{d π (t)} = - i [ϕ (t), H]

${\delta H (t)\over \delta \pi (t)}=-i\,[\phi(t), H]$

obtenemos:

\partial_{t} ⟨ T ϕ (t) A (t^{'}) ⟩ = i ⟨ T [ϕ (t), H] A (t^{'}) ⟩ + d (t - t^{'}) ⟨ [ϕ (t), A (t^{'})] ⟩ = θ (t - t^{'}) ⟨ \dot{ϕ} (t) A (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t) ⟨ A (t^{'}) \dot{ϕ} (t) ⟩ + d (t - t^{'}) ⟨ [ϕ (t), A (t^{'})] ⟩

$\partial_t \langle \, T\, \phi(t)\,A(t')\,\rangle=i\langle \, T\, [\phi(t),H]\,A(t')\,\rangle+\delta (t-t')\,\langle \, [\phi(t),A(t')]\,\rangle \\ =\theta(t-t')\langle \, \dot\phi(t)\,A(t')\,\rangle+\theta(t'-t)\langle \, A(t')\,\dot\phi(t)\,\rangle+\delta (t-t')\,\langle \, [\phi(t),A(t')]\,\rangle$

Si, por ejemplo, $A(t')=\pi (t',\vec x')$ , el último término da $i\,\delta ^4 (x-x')$ .

$\\$

En caso de que no quede lo suficientemente claro, permítanme comentar que las derivadas conmutan con la medida de la integral de trayectoria. El punto clave es que

\partial_{t} [θ (t - t^{'}) ⟨ ϕ (t) ϕ (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t) ⟨ ϕ (t^{'}) ϕ (t) ⟩] = \int D ϕ \frac{ϕ (t + ϵ^{+}) - ϕ (t)}{ϵ^{+}} ϕ (t^{'}) {mi}^{i S} \neq θ (t - t^{'}) ⟨ \dot{ϕ} (t) ϕ (t^{'}) ⟩ + θ (t^{'} - t) ⟨ ϕ (t^{'}) \dot{ϕ} (t) ⟩

$\partial_t \,\left[\theta(t-t')\langle \phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\phi (t)\rangle\right]=\int D\phi\, {\phi(t+\epsilon^+)-\phi (t)\over \epsilon ^+}\phi(t')\,e^{iS}\neq\theta(t-t')\langle \dot\phi(t)\phi(t')\rangle+\theta (t'-t)\langle \phi (t')\dot\phi (t)\rangle$

Además, me gustaría enfatizar que ${\delta H (t)\over \delta \pi (t)}$ es un funcional en un momento dado , mientras que $\dot\phi (t)$ en el integrando de una integral de trayectoria debe interpretarse como ${\phi(t+\epsilon^+)-\phi (t)\over \epsilon ^+}$ , es decir, como una diferencia entre campos evaluados en diferentes momentos.

$^1$ Tenga en cuenta que la derivada se puede definir de diferentes maneras que dan lugar a diferentes órdenes de operadores, consulte la excelente respuesta de Maimon Formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica , tenga cuidado con algunos errores tipográficos en las expresiones: donde dice $x(t)p(t)$ debería decir $p(t)x(t)$ .

EDITAR: Para derivar algunos de los resultados anteriores, uno debe tomar $\theta (0)=1/2$ . Sin embargo, uno puede proceder de una manera ligeramente diferente para evitar tal elección (que, en mi opinión, tiene toda la razón). Por ejemplo,

\int \dot{A} (t) B (t) {mi}^{i S} = \int \frac{A (t + a) - A (t)}{a} B (t + a / 2) {mi}^{i S} = ⟨ \dot{A} (t) B (t) ⟩ + \underset{a \to 0}{límite} \frac{1}{a} ⟨ [A (t), B (t)] ⟩

$\int \dot A(t) B(t) \,e^{iS}=\int {A(t+a)-A(t)\over a } B(t+a/2) \,e^{iS}=\langle\dot A(t)B(t)\rangle+\lim_{a\to 0}{1\over a}\langle [A(t),B(t)]\rangle$

@JiaYiyang ¿En el camino correcto? Directamente a la cima de la montaña ;). ¿Has intentado derivarlo? Es fácil. Toma la definición de derivada que doy en la respuesta y $\theta (0)=1/2$ . Tenga en cuenta que $\delta (t)= \lim_{a\to 0}\,{1\over 2a}\,e^{-\pi\,t^2/(4\,a^2)}$ y evaluarlo en $t=0$
Bueno, probé tu definición. $\int D\phi\, {\phi(t+\epsilon^+)-\phi (t)\over \epsilon ^+}\phi(t)\,e^{iS}$ , pero según el hilo de Ron Maimon, ¿no es solo $\langle\dot{\phi}(t)\phi(t)\rangle$ ?
@JiaYiyang Si $A=\phi$ y $B=\phi$ , el último término (término del conmutador) desaparece. Pero $A\neq B$ en general. Aplicar la relación estándar entre las integrales de trayectoria y el producto de campos ordenado en el tiempo. Es sencillo.
Dos preguntas: 1. Incluso si es $\int D\phi\, {\dot{\phi}(t+\epsilon^+)-\dot{\phi (t)}\over \epsilon ^+}\phi(t)\,e^{iS}$ , según mi entendimiento del hilo de Ron Maimon, será igual a $\langle\ddot{\phi}(t)\phi(t)\rangle$ (siempre y cuando también usemos la discretización directa para definir $\dot{\phi}(t)$ . 2. Una vez más, la única forma en que podría obtener un $\delta(0)\langle[A(t),B(t)]\rangle$ es volver primero a la definición del operador donde tenemos funciones escalonadas, luego diferenciar, pero esto sería una lógica circular. Quiero un cálculo sin ninguna referencia a la definición del operador y comparar el resultado
@JiaYiyang No sé dónde estás atrapado. $\epsilon^{+}$ o $a$ son infinitesimales positivos. Aplique la relación estándar y use $\theta (0)=1/2$ , $\theta (a)=1$ , $\theta (-a)=0$ . También puede obtener un resultado similar si utiliza $\dot f(t)={f(t+a/2)-f(t-a/2)\over a}$ con $a$ un infinitesimal positivo.
@drake: Realmente no estoy atascado, podría obtener un resultado muy cercano, pero a través de manipulaciones muy dudosas, y si uso otras manipulaciones que parecen igualmente válidas, obtendría un resultado diferente, mostraré mis pasos en mi publicación original
@drake: creo que la receta de dónde y cómo poner el infinitesimal $a$ es todo lo que importa cuando se trata de pedidos al mismo tiempo. Simplemente me parece desconcertante que, si uno comienza con el formalismo de la integral de caminos, ¿cómo puede uno determinar qué prescripción es la superior? Bueno, por supuesto, uno puede elegir la prescripción de tal manera que sea consistente con el formalismo del operador y llamarla la opción superior, pero ¿no es esto básicamente decir que el formalismo del operador es más fundamental que la integral de trayectoria?
Hola, @JiaYiyang One también tiene una ambigüedad de orden en el formalismo del operador que es la contraparte del límite continuo en la integral de ruta. Si no hubiera ambigüedad en la integral de trayectoria, entonces sería más fundamental. Pero no veo que la implicación funcione en la otra dirección. Hay ambigüedades en ambas formulaciones. Me siento más cómodo trabajando con el formalismo del operador porque las dificultades/ambigüedades me parecen más obvias mientras que en la integral de ruta suelen estar ocultas y son más sutiles.
Sin embargo, admito que es una cuestión de gustos, al menos hasta que sepa, tal vez la gravedad cuántica diga cuál es más fundamental. Supongo que la gente fibrosa generalmente prefiere la integral de ruta.
@drake: Me retiraré del tema "cuál es más superior", ya que, como dijiste, es principalmente un gusto personal. Ahora mi única pregunta restante es la segunda parte de mi pregunta: dado que se ha vuelto claro que cómo discretizar la derivada del tiempo es esencial para obtener un resultado consistente con el formalismo del operador, ¿por qué la ecuación de Dyson-Schwinger (igual que el método variacional que has escrito) funciona tan bien mientras no hace referencia a la prescripción de discretización?
Esta es otra gran pregunta, @JiaYiyang. Todas estas ambigüedades (ordenamiento, límite continuo) son compensadas o balanceadas por las ambigüedades (prescripciones diferentes) en la regularización/renormalización de las divergencias ultravioleta. Resulta que en QFT (al menos en el uso que hacemos de QFT para calcular elementos de matriz S) las ambigüedades se anulan entre sí. Tenga en cuenta que involucran a Dirac $\delta$ Así que tienen que ver con el comportamiento de distancia muy corta de la teoría.
@JiaYiyang Consulte physics.stackexchange.com/q/46988 y la respuesta de Maimon en physics.stackexchange.com/q/17728
@drake: Gracias de nuevo por las buenas referencias, estoy iluminado nuevamente por la publicación de Ron Maimon (y admito libremente que no entiendo completamente lo que escribió). Sin embargo, no estoy pensando en problemas profundos como la renormalización, sino que es solo formalmente por qué la ecuación de Dyson-Schwinger da un resultado consistente con el cálculo del operador de $\partial_t\langle T\{A(t)B(t')\}\rangle$ , mientras que realmente no se tiene cuidado con el tema de la discretización.
No estoy seguro de lo que estás preguntando. Hay ambigüedades en ambos enfoques. $\langle T\,\dot A(t)\, B(t)\rangle$ es ambiguo. @JiaYiyang
Sí, uno debe definir cuidadosamente algunas convenciones (por ejemplo, el valor de $\theta(0)$ & derivada hacia adelante, hacia atrás o centrada) para eliminar la ambigüedad. Sin embargo, en un nivel completamente formal para el enfoque del operador, tendríamos $\partial_t\langle T\{A(t)B(t')\}\rangle=\langle T\{\dot A(t)B(t')\}\rangle+\delta(t-t')\langle[A(t),B(t')]\rangle$ . En la integral de trayectoria, si queremos obtener el mismo resultado mediante manipulaciones formales, debemos usar la ecuación de Dyson-Schwinger (claramente, no todas las manipulaciones formales pueden reproducir el mismo resultado). En el nivel formal, ninguno de los métodos aclara la ambigüedad de tiempo igual, pero dan ...
... el mismo resultado, por lo que parece ser una gran coincidencia, y prefiero creer que de alguna manera usaron la misma convención en secreto. Estoy tratando de averiguar cuál es el secreto. @pato
La clave es que estamos tratando con productos de distribuciones con valores de operadores (campos locales) en el mismo punto, y esto no está bien definido. Necesitamos una regularización, es decir, definir qué entendemos por estos productos. @JiaYiyang
Eso es cierto, pero en el nivel formal, las diferentes convenciones para eliminar la ambigüedad del orden de tiempos iguales conducirán a diferentes reglas de Feynman, por ejemplo, si en la integral de ruta usamos la derivada hacia adelante, de hecho tenemos $\partial_t\langle T\{A(t)B(t')\}\rangle=\langle T\{\dot A(t)B(t')\}\rangle$ (como aclaré en su derivación, lo que se usa es en realidad uno centrado seguido de uno hacia adelante), por lo tanto, da como resultado una regla de Feyman diferente con el enfoque del operador, apenas puedo ver cómo la regularización y la renormalización pueden solucionar esto.
Me doy cuenta de que mi pregunta está mal escrita porque en realidad contiene tres preguntas: 1) ¿De dónde viene la ambigüedad? 2) ¿Por qué Dyson-Schwinger es "seguro" en el sentido de que reproduce el resultado del operador? 3) si no definimos cuidadosamente las convenciones, las reglas de feynman son diferentes, ¿cuál usar? Creo que su respuesta al menos aclara la primera pregunta, ¡gracias! @drake
Continúe esta discusión moviéndola a Physics Chat . Gracias.

Ordenación temporal y derivada temporal en formalismo de integral de trayectoria y formalismo de operador

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