Formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica

Fuentes para la integral de trayectoria

Puede leer cualquier fuente estándar, siempre que la complemente con el texto a continuación. Aquí hay algunos que son buenos:

• Feynman y Hibbs
• Kleinert (aunque esto es un poco largo)
• Un apéndice a la teoría de cuerdas de Polchinski vol I
• Mandelstam y Yourgrau

Hay fallas importantes con otras presentaciones, estas son prácticamente las únicas buenas. Explico la omisión principal a continuación.

Completar presentaciones estándar

Para que la discusión de la integral de camino sea completa, uno debe explicar cómo surge la no conmutatividad. Esto no es trivial, porque las variables de integración en la integral de trayectoria para campos bosónicos o trayectorias de partículas son variables ordinarias con valores reales, y estas cantidades no pueden ser no conmutativas en sí mismas.

Cantidades no conmutativas

La resolución de esta no paradoja es que el integrando de la integral de trayectoria está en los elementos de la matriz de los operadores, y la integral en sí misma está reproduciendo la multiplicación de la matriz. Entonces, solo cuando integra todos los valores en tiempos intermedios, obtiene una respuesta dependiente del orden no conmutativo. Es importante destacar que, cuando los operadores que no conmutan aparecen en la acción o en las inserciones, el orden de estos operadores depende exactamente de cómo los discretice, ya sea que coloque las partes derivadas como diferencias directas o inversas o diferencias centradas. Todas estas ambigüedades son importantes y solo se discuten en un puñado de lugares (Negele/Orland Yourgrau/Mandelstam Feynman/Hibbs Polchinski y Wikipedia) y en ningún otro lugar.

Daré los ejemplos clásicos de esto, que son suficientes para resolver el caso general, suponiendo que esté familiarizado con integrales de trayectoria simples como la partícula libre. Considere la acción euclidiana de partículas libres

y considerar la evaluación del producto no conmutativo$x\dot{x}$. Esto se puede discretizar como

o como

El primero representa$x(t)p(t)$en este orden de operadores, el segundo representa$p(t)x(t)$en el otro orden de operadores, ya que el orden de operadores es el orden de tiempo. La diferencia del segundo menos el primero es

El cual, para la ruta de caminata aleatoria fluctuante, las rutas integrales tienen un límite fluctuante que promedia 1 en cualquier intervalo de longitud finita, cuando$\epsilon$va a cero. Esta es la relación de conmutación canónica euclidiana, la diferencia en los dos órdenes de operadores da 1. Para el movimiento browniano, esta relación se llama "lema de Ito", no dX, pero el cuadrado de dX es proporcional a dt. Mientras dX está fluctuando entre valores positivos y negativos sin correlación y con una magnitud en cualquier momento de aproximadamente$\sqrt{dt}$, dX^2 fluctúa solo sobre valores positivos, con un tamaño promedio de dt y sin correlaciones. Esto significa que la ruta browniana típica es continua pero no diferenciable (para probar la continuidad es necesario saber que las fluctuaciones grandes de dX se suprimen exponencialmente --- la continuidad falla para los vuelos de Levy, aunque dX se escala a 0 con dt).

Aunque la discretización define el orden, no todas las propiedades de la discretización importan, solo de qué manera va la derivada del tiempo. Puede comprender la dependencia intuitivamente de la siguiente manera: el valor de la posición futura de una caminata aleatoria está (muy levemente) correlacionado con la velocidad instantánea actual (infinita), porque si la velocidad instantánea aumenta, el valor futuro va a ser más grande, si abajo, más pequeño. Sin embargo, debido a que la velocidad es infinita, esta diminuta correlación entre el valor futuro y la velocidad actual da un correlador finito que resulta ser constante en el límite continuo. A diferencia del valor futuro, el valor pasado no tiene ninguna correlación con la velocidad actual (hacia adelante), si genera la caminata aleatoria de forma natural avanzando en el tiempo paso a paso, mediante una cadena de Markov.

El orden de tiempo de los operadores es igual a su orden de operador en la integral de trayectoria, por la forma en que divides el tiempo para hacer la integral de trayectoria. Las diferencias hacia adelante son derivadas desplazadas infinitesimalmente hacia el futuro, las diferencias pasadas se desplazan ligeramente hacia el pasado. Esto es importante en el Lagrangiano, cuando el Lagrangiano implica cantidades que no conmutan. Por ejemplo, considere una partícula en un campo magnético (en la continuación euclidiana correcta):

El potencial vectorial es una función de x y no conmuta con la velocidad$\dot{x}$. Por esta razón, Feynman y Hibbs y Negele y Orland discretizan cuidadosamente esto,

Donde el subíndice c indica una diferencia centrada infinitesimal (el promedio de la diferencia hacia adelante y hacia atrás). En este caso, los dos órdenes difieren por el conmutador, [A,p], que es$\nabla\cdot A$, por lo que hay una diferencia de orden fuera de ciertos calibres. El orden correcto se obtiene al requerir la invariancia de calibre, de modo que al agregar un gradiente$\nabla \alpha$a A no hace nada más que una rotación de fase local por$\alpha(x)$.

Donde se selecciona la diferencia centrada porque solo la diferencia centrada obedece la regla de la cadena. Que esto es cierto es familiar de la ecuación de movimiento de Heisenberg:

Donde la derivada es una suma de ambos órdenes. Esto es válido para los hamiltonianos cuadráticos, aquellos para los que la integral de trayectoria es más sencilla. La diferencia centrada es la suma de ambos órdenes.

El hecho de que la regla de la cadena solo funcione para la diferencia centrada significa que las personas que no entienden las ambigüedades de ordenamiento al 100% (casi todos) tienen un fetichismo del centro, lo que les lleva a usar diferencias centradas todo el tiempo.

La diferencia centrada no es apropiada para ciertas cosas, como para la discretización de la ecuación de Dirac, donde conduce a la "duplicación de fermiones". Los "Wilson Fermions" son una modificación de la acción discretizada de Dirac que básicamente equivale a decir "¡No uses derivadas centradas, tonto!"

De todos modos, el orden es importante. Cualquier presentación de la integral de trayectoria que proporcione el Lagrangiano para una partícula en un campo magnético sin especificar si la derivada temporal es una diferencia hacia adelante o una diferencia pasada, no es buena en absoluto. Esa es la mayoría de las discusiones.

Un buen formalismo para las integrales de trayectoria siempre piensa en las cosas en una red fina y toma el límite del espacio de red pequeño al final. Feynman siempre pensó en secreto de esta manera (y a menudo no del todo en secreto, como en el caso anterior de una partícula en un campo magnético), al igual que todos los demás que trabajan cómodamente con este material. A los matemáticos no les gusta pensar de esta manera, porque no les gusta la idea de que el continuo todavía tiene nuevas sorpresas en el límite. Los matemáticos son esnobs y están equivocados.

La otra cosa que casi nunca se explica correctamente (a excepción de Negele/Orland, el artículo original de David John Candlin en Neuvo Cimento de 1956 y Berezin) es la integral de trayectoria del campo fermiónico. Esta es una discusión separada, por lo que me referiré a estas fuentes por el momento.

"Mecánica cuántica e integrales de trayectoria" de Feynman y Hibbs

Para comenzar, aquí hay algunas notas de clase que me gustan sobre la integral de ruta: http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1011/notes/pathint.pdf (de la página http://bohr.physics .berkeley.edu/classes/221/1011/221.html )

El libro 'Principios de la mecánica cuántica' de R. Shankar tiene una muy buena introducción al formalismo de la integral de caminos (y la mecánica cuántica en general) con dos capítulos dedicados al respecto. Además, el libro comienza con una buena presentación de álgebra lineal en notación Bra-ket.