Ecuación de Schwinger-Dyson para un campo de Klein-Gordon

Question

Ecuación de Schwinger-Dyson para un campo de Klein-Gordon

Física
propagador
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
ecuación de klein-gordon

Markus Zetto

Tengo una pregunta sobre el uso de la ecuación de Schwinger-Dyson para el campo de Klein-Gordon.

\begin{matrix} (22.23) & \begin{aligned} i < 0 | T (d S / d ϕ (X)) ϕ (X_{1}) \dots | 0 > \\ + < 0 | T d (X - X_{1}) \dots | 0 > & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} i <0|T (\delta S / \delta \phi(x) ) \phi(x_1)\ldots |0> &\cr +<0|T\delta(x-x_1)\ldots|0>&=0 .\end{align}\tag{22.23}$ Mientras las otras inserciones no estén cerca

x

$x$ . Entonces

\begin{matrix} (22.23') & < 0 | T ((- \partial^{2} - {metro}^{2}) ϕ (X)) ϕ (X_{1}) | 0 >= i d (X - X_{1}) . \end{matrix}

$<0|T((-\partial^2-m^2)\phi(x))\phi(x_1)|0>=i\delta(x-x_1).\tag{22.23'}$ Ahora, en el libro QFT de Srednicki , se afirma que el Operador de Klein-Gordon debería estar más bien fuera del VEV, que "es claro a partir de la formulación de la integral de trayectoria". Bueno, no me queda claro, incluso después de haber escrito la formulación de la integral de trayectoria, por qué debería ser más bien

\begin{matrix} (22.24) & \begin{aligned} (\partial_{X}^{2} + {metro}^{2}) < 0 | T ϕ (X) ϕ (X_{1}) | 0 >= & (\partial_{X}^{2} + {metro}^{2}) Δ (X - X_{1}) \\ = & - i d (X - X_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} (\partial_x^2+m^2)<0|T\phi(x)\phi(x_1)|0>=&(\partial_x^2+m^2)\Delta(x-x_1)\cr =&-i\delta (x-x_1). \end{align}\tag{22.24}$ De esa forma la derivada también actúa sobre las funciones escalonadas en el ordenamiento temporal. Para mayor comodidad, también escribiré la representación integral de ruta de la primera fórmula:

\begin{matrix} (22.22) & 0 = \int D ϕ {mi}^{i S (ϕ)} (i \frac{d S}{d ϕ (X)} ϕ (X_{1}) + d (X - X_{1})) . \end{matrix}

$0=\int D\phi \ e^{iS(\phi)}(i \frac{\delta S}{\delta \phi(x)} \phi(x_1) +\delta(x-x_1)).\tag{22.22}$

AccidentalFourierTransformar

Srednicki está siendo descuidado. La verdadera justificación es que el símbolo de ordenación temporal de la integral de trayectoria es el covariante, no el ingenuo, y el primero conmuta con derivadas espacio-temporales. No encontrará una explicación adecuada en el libro de Srednicki, por lo que tendrá que aceptar sus afirmaciones y aprender a vivir con ellas. Bonito libro sin embargo, si se tiene en cuenta que no pretende ser preciso ni riguroso.

Profesor Legolasov

Intente reemplazar la derivada con una aproximación de diferencia finita. Debería ser evidente por qué conmuta con la integral de trayectoria de este.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/197313/2451 , physics.stackexchange.com/q/296309/2451 y enlaces allí.

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Ecuación de Schwinger-Dyson para un campo de Klein-Gordon

Srednicki está siendo descuidado. La verdadera justificación es que el símbolo de ordenación temporal de la integral de trayectoria es el covariante, no el ingenuo, y el primero conmuta con derivadas espacio-temporales. No encontrará una explicación adecuada en el libro de Srednicki, por lo que tendrá que aceptar sus afirmaciones y aprender a vivir con ellas. Bonito libro sin embargo, si se tiene en cuenta que no pretende ser preciso ni riguroso.
Intente reemplazar la derivada con una aproximación de diferencia finita. Debería ser evidente por qué conmuta con la integral de trayectoria de este.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/197313/2451 , physics.stackexchange.com/q/296309/2451 y enlaces allí.

qmecanico · Answer 1

El comentario anterior de AccidentalFourierTransform es exactamente correcto: el punto es que el orden del tiempo de Srednicki $T$ debe reemplazarse con ordenación temporal covariante $T_{\rm cov}$ , es decir, las diferenciaciones de tiempo dentro de su argumento deben tomarse después/fuera del orden de tiempo habitual $T$ .

Esto resuelve el aparente conflicto/contradicción entre las ecuaciones de Srednicki. (22.23') y (22.24). En otras palabras, la función de 2 puntos $\left<T\{\phi\phi\} \right>$ solo puede ser la funcion de Green $\Delta$ si usamos $T_{\rm cov}$ en lugar de $T$ en la SD ec. (22.23).
Más generalmente, la correspondencia/diccionario formal entre
$\begin{matrix} (A) & formulación del operador \leftrightarrow formulación integral de trayectoria \end{matrix}$ $\text{operator formulation} \quad\leftrightarrow\quad \text{path integral formulation}\tag{A}$ es $\begin{matrix} (B) & \begin{aligned} {⟨ Ω | T_{C o v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{j} = & \frac{1}{Z [j]} \int D ϕ F [ϕ] Exp {\frac{i}{ℏ} S [ϕ; j]} \\ = & \frac{1}{Z [j]} F [\frac{ℏ}{i} \frac{d}{d j}] Z [j], \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J ~=~& \frac{1}{Z[J]}\int \! {\cal D}\phi~F[\phi]~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\cr ~=~& \frac{1}{Z[J]}F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J],\end{align}\tag{B}$ dónde $F$ es un funcional arbitrario y donde la función de partición/integral de trayectoria es $\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} Z [j] := & \int D ϕ Exp {\frac{i}{ℏ} S [ϕ; j]}, \\ S [ϕ; j] := & S [ϕ] + j_{k} ϕ^{k}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z[J]~:=~& \int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\},\cr S[\phi;J]~:=~&S[\phi]+J_k\phi^k, \end{align}\tag{C}$ La correspondencia (B) se deriva del procedimiento de división de tiempo subyacente de las integrales de trayectoria. Véase, por ejemplo , this y this Phys.SE answer.
Ahora al punto principal: observe cómo el diccionario (B) habla naturalmente con $T_{\rm cov}$ en vez de $T$ : Si el funcional $F$ no contiene derivadas temporales, no importa si usamos $T$ o $T_{\rm cov}$ . Sin embargo, si $F$ contiene derivadas temporales, se aplican fuera del correlacionador, es decir, el orden temporal es $T_{\rm cov}$ .
Ejemplo. Si
$\begin{matrix} (D) & F [ϕ] = \prod_{i = 1}^{norte} {(\frac{\partial}{\partial t_{i}})}^{{metro}_{i}} ϕ (t_{i}), \end{matrix}$ $F[\phi]~=~\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i} \phi(t_i),\tag{D}$ entonces $\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} \frac{1}{Z [j]} & F [\frac{ℏ}{i} \frac{d}{d j}] Z [j] \\ \overset{(D)}{=} & \frac{1}{Z [j]} [\prod_{i = 1}^{norte} {(\frac{\partial}{\partial t_{i}})}^{{metro}_{i}}] \int D ϕ Exp {\frac{i}{ℏ} S [ϕ; j]} \prod_{j = 1}^{norte} ϕ (t_{j}) \\ \overset{(B)}{=} & [\prod_{i = 1}^{norte} {(\frac{\partial}{\partial t_{i}})}^{{metro}_{i}}] {⟨ Ω | T {\prod_{j = 1}^{norte} ϕ (t_{j})} | Ω ⟩}_{j} \\ \overset{(D)}{=} & {⟨ Ω | T_{C o v} {F [ϕ]} | Ω ⟩}_{j} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{1}{Z[J]}&F\left[\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J} \right]Z[J]\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\frac{1}{Z[J]}\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\int \! {\cal D}\phi~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S[\phi;J]\right\}\prod_{j=1}^n\phi(t_j)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\left[\prod_{i=1}^n \left(\frac{\partial}{\partial t_i} \right)^{m_i}\right]\left< \Omega \left| T\left\{ \prod_{j=1}^n\phi(t_j)\right\} \right| \Omega \right>_J\cr ~\stackrel{(D)}{=}~&\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\{ F[\phi]\} \right| \Omega \right>_J. \end{align}\tag{E}$
Entonces las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) se convierten en
$\begin{matrix} (F) & {⟨ Ω | T_{C o v} {F [ϕ] \frac{d S [ϕ; j]}{d ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{j} = i ℏ {⟨ Ω | T_{C o v} {\frac{d F [ϕ]}{d ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{j}, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~i\hbar\left< \Omega \left| T_{\rm cov}\left\{\frac{\delta F[\phi]}{\delta \phi(x)} \right\}\right| \Omega \right>_J ~, \tag{F}$ cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
En cambio, si solo usamos el ordenamiento temporal habitual $T$ , no obtenemos el término de contacto:
$\begin{matrix} (GRAMO) & {⟨ Ω | T {F [ϕ] \frac{d S [ϕ; j]}{d ϕ (X)}} | Ω ⟩}_{j} = 0, \end{matrix}$ $\left< \Omega \left| T\left\{ F[\phi]\frac{\delta S[\phi;J]}{\delta \phi(x)}\right\}\right| \Omega \right>_J~=~0, \tag{G}$ porque los EOM se satisfacen en promedio cuántico, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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