Ordenación normal en la teoría de cuerdas: Polchinski frente a todos los demás

Estas dos definiciones no son iguales y conducen a diferentes expresiones para campos más complicados (compuestos) OPE. Estas dos definiciones usan la misma regularización (regularización por división de puntos) pero diferentes esquemas de sustracción . El adoptado por Polchinski se obtiene restando las contracciones entre los campos, en este procedimiento se restan los términos divergentes y finitos. Tomemos como ejemplo los siguientes operadores compuestos OPE:

$$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):+:\partial x^{(\nu}(z):\eta^{\mu)\rho}\partial_z\partial_w\left(-\frac{\alpha'}{2}\log(|z-w|^2)\right)$$ $$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(z):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(z):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$

expandiéndose en$z\rightarrow w$el numerador, obtenemos

$$=:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)^2}$$ $$-\frac{\alpha'}{2}\frac{\partial^2 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}+\partial^2 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}}{(z-w)}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w):\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}+\mathcal{O}(z-w)$$

restando la parte divergente y luego enviar$z\rightarrow w$, es lo mismo que computar

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=\oint_{C(w)}\frac{dz}{2\pi i}\frac{:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z)::\partial x^{\rho}(w):}{(z-w)}$$

y lo que obtenemos es

$$\left(:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w):,:\partial x^{\rho}(w):\right)=:\partial x^{\mu}(w)\partial x^{\nu}(w)\partial x^{\rho}(w):-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\nu}(w)\eta^{\mu\rho}-\frac{\alpha'}{4}\partial^3 x^{\mu}(w):\eta^{\nu\rho}$$

hay un término adicional, generalmente llamado términos de orden, que aparece en el lado derecho. Tenga en cuenta también que$:\partial x^{\mu}(z)\partial x^{\nu}(z):=(\partial x^{\mu}(z),\partial x^{\nu}(z))$. Es muy importante notar que el$::$el ordenamiento es asociativo y (anti) conmutativo para los bosones (fermiones). El$(,)$ordenar no es asociativo, y no (anti-)comutativo! Por eso prefiero la receta de Polchinski, pero el problema de la receta de Polchinski es que necesitamos saber de antemano cuáles son los campos "fundamentales" que va a construir cualquier otro operador local y sus OPE para definir la contracción, mientras que el$(,)$ordenar sólo requiere el conocimiento de los OPEs, sin elegir un campo "fundamental" preferencial.

Por lo general, la física no depende de cómo defina el orden entre varios operadores, pero en presencia de interacciones o restricciones no lineales, la física sí depende de cómo defina el orden de ciertos operadores, ya que los operadores compuestos son importantes para la dinámica, y son sensibles bajo pedido.

La definición habitual de producto ordenado normal es:

$$:X^\mu(z,\bar z)X^\nu(w,\bar w): = X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) - \langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle$$

Como dijiste, esta es la parte regular de la OPE, ya que solo la parte divergente de dos operadores da una contribución que no desaparece al correlacionador. Por supuesto

$$\langle X^\mu(z,\bar z) X^\nu(w, \bar w) \rangle=- \frac{\alpha'}{2} \eta^{\mu\nu} \log |z-w|^2$$