Operadores de espín en dos sistemas de partículas de espín-1212\frac{1}{2}

En un texto que estoy usando (Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths), este es un texto introductorio, por lo que se omite gran parte del rigor. Se afirma lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos spin- 1 2 partículas, por ejemplo, el protón y el electrón en el estado fundamental del hidrógeno. Cada uno puede girar hacia arriba o hacia abajo, por lo que hay cuatro posibilidades en total. Dejar

S ^ := S ^ ( 1 ) + S ^ ( 2 ) .
Teniendo en cuenta los estados propios de S ^ z tenemos
S ^ z = ( S z ^ ( 1 ) + S z ^ ( 2 ) ) x 1 x 2 = ( S z ^ ( 1 ) x 1 ) x 2 + x 1 ( S z ^ ( 2 ) x 2 ) = ( ℏ metro 1 x 1 ) x 2 + x 1 ( ℏ metro 2 x 2 ) = ℏ ( metro 1 + metro 2 ) x 1 x 2

Pregunta:

¿Cuál es la justificación matemáticamente rigurosa (o más completa) de por qué S ^ ( 1 ) actúa sólo sobre x 1 y S ^ ( 2 ) solo actúa x 2 ? Además, ¿por qué definimos el operador como S ^ := S ^ ( 1 ) + S ^ ( 2 ) ? Puedo ver que es natural considerar este operador, pero me interesa saber si existe una motivación más general para una definición de este tipo.

Gracias por cualquier ayuda.

Respuestas (1)

Dados dos espacios vectoriales V 1 y V 2 , podemos definir su producto tensorial V 1 ⊗ V 2 , que es un nuevo espacio vectorial. Los estados del producto en este espacio vectorial se pueden escribir

v 1 ⊗ v 2

dónde v 1 ∈ V 1 y v 2 ∈ V 2 . No todos los elementos de V 1 ⊗ V 2 puede escribirse así como un estado de producto separable, pero puede formar una base de V 1 ⊗ V 2 usando los estados del producto, y luego el estado más general es una combinación lineal de esos estados del producto. (Esta es la idea del entrelazamiento: un estado entrelazado es uno que no puede escribirse como un estado producto).

Además, dados dos operadores lineales T 1 : V 1 → W 1 y T 2 : V 2 → W 2 , podemos definir su producto tensorial como un nuevo operador

T 1 ⊗ T 2 : V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2

por

T 1 ⊗ T 2 ( v 1 ⊗ v 2 ) = T 1 ( v 1 ) ⊗ T 2 ( v 2 ) .

Esta definición de T 1 ⊗ T 2 puede extenderse para estados que no son productos por linealidad (recuerde que V 1 ⊗ V 2 tiene una base de estados del producto).

Tenga en cuenta que el símbolo ⊗ se está utilizando de tres maneras distintas! Puede denotar un producto tensorial de espacios vectoriales, de vectores o de operadores. Los físicos a menudo omiten la ⊗ notación completa y solo use la yuxtaposición, pero es de esperar que incluir los productos tensoriales explícitamente responda sus preguntas.

También tenga en cuenta que los matemáticos tienen definiciones más sofisticadas de los productos tensoriales, pero para nuestros propósitos esto debería ser suficiente.

Ahora, si tenemos dos electrones, tenemos dos espacios de espín. Consideramos su producto tensorial, cuyos estados básicos podrían verse como

| x 1 ⟩ ⊗ | x 2 ⟩

dónde | x 1 ⟩ es el estado de un electrón y | x 2 ⟩ el estado del otro electrón. Luego definimos el operador de giro en este espacio por

S = S 1 ⊗ I + I ⊗ S 2

dónde I es el operador de identidad. Usando la definición del producto tensorial de operadores, se sigue que

S ( | x 1 ⟩ ⊗ | x 2 ⟩ ) = S 1 | x 1 ⟩ ⊗ | x 2 ⟩ + | x 1 ⟩ ⊗ S 2 | x 2 ⟩ .

Con esta notación debería quedar claro por qué S 1 solo actúa sobre | x 1 ⟩ y S 2 solo actúa sobre | x 2 ⟩ . Por ejemplo, si | x 1 ⟩ = | ↑ ⟩ y | x 2 ⟩ = | ↑ ⟩ , entonces

S z ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ) = S 1 z | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ + | ↑ ⟩ ⊗ S 2 z | ↑ ⟩ = ℏ 2 | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ + | ↑ ⟩ ⊗ ℏ 2 | ↑ ⟩ = ℏ ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ) .

Vemos que nuestra definición de S parece ser sensato.

Gracias por su completa respuesta. Matemáticamente, ¿por qué algunos elementos de V ⊗ W escribirse como v ⊗ w ? Usé estas notas para estudiar los productos tensoriales . Da la definición que uso para los productos tensoriales en la página 1, pero también he leído la mayoría de las notas, no menciona que algunos elementos de V ⊗ W no se puede escribir como v ⊗ w .
¿Tiene esto algo que ver con las dimensiones de V y W ? ¿Sería posible obtener un ejemplo de algún elemento de un producto tensorial que no pueda escribirse como v ⊗ w pero, ¿puede escribirse como una combinación lineal de estados de productos básicos?
@Alex Para dos partículas de espín 1/2, un ejemplo de un estado entrelazado es | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ − | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ . Puede demostrar que este estado no es igual a | x 1 ⟩ ⊗ | x 2 ⟩ para cualquier elección de | x 1 ⟩ , | x 2 ⟩ . Pero es una combinación lineal de tales estados de productos básicos.
No conozco ningún significado matemático más profundo de por qué deberían existir tales estados entrelazados. Pero, ¿por qué no deberían hacerlo? No hay nada en la definición del producto tensorial que sugiera que cada estado es un estado producto. Recuerda que una de las propiedades de un espacio vectorial es que es cerrado bajo combinaciones lineales. Por lo tanto, porque V 1 ⊗ V 2 es ser un espacio vectorial, no sorprende que un elemento arbitrario sea una combinación lineal de los vectores base que construimos.
Sí, de acuerdo, debería esperarse. ¿Estaría en lo cierto al afirmar que | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ + | ↓ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ = ( | ↑ ⟩ + | ↓ ⟩ ) ⊗ | ↓ ⟩ se considera un estado separable también? Además, ¿de qué observables tiene sentido considerar espacios de productos tensoriales? Usando los vectores propios del operador dado, ¿tendría sentido considerar, por ejemplo, espacio de producto de tensor de posición-momentum o espacio de producto de tensor de posición hamiltoniano o espacio de producto de tensor de momento-hamiltoniano?
Sí, eso se ve bien. Es un estado separable si se puede escribir como | x 1 ⟩ ⊗ | x 2 ⟩ , aunque también podría escribirse de otras formas.
Tiene sentido utilizar productos tensoriales en dos casos. Para partículas múltiples, puede usar productos tensoriales de sus estados y observables como lo hicimos aquí. O, si está estudiando el estado total (función de onda y espín) de una sola partícula, puede usar un producto tensorial de estas dos partes. Podrías definir operadores como pag ⊗ S , con pag actuando sobre la parte de la función de onda y S actuando sobre la parte giratoria. pero recuerda que X y pag actuar sobre un vector en el mismo espacio (la función de onda), por lo que no tiene sentido combinar estos operadores en un producto tensorial a menos que tenga varias partículas.
@jc315 Hola. Usted mencionó en su discusión anterior una definición de estados entrelazados . Para los dos giros- 1 2 como se describe, según tengo entendido, hay cuatro vectores propios para el operador del momento angular de espín al cuadrado S ^ 2 := ( S ^ ⋅ S ^ ) , estos son
| 1 1 ⟩ = | ↑ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ , | 1 0 ⟩ = 1 2 ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ + | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ) , | 1 − 1 ⟩ = | ↓ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ y | 0 0 ⟩ = 1 2 ( | ↑ ⟩ ⊗ | ↓ ⟩ − | ↓ ⟩ ⊗ | ↑ ⟩ ) . ¿Estoy entonces en lo correcto al afirmar que dos de estos estados propios son estados entrelazados ?
@ jc315 Hola, si tiene la oportunidad, vea mi publicación. Solo estoy tratando de confirmar mi comprensión del estado en estos espacios de productos tensoriales.
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