Cuadrado de las matrices de Pauli y la matriz identidad

OP pregunta:

¿Hay algún significado físico para esto?

Sí, la matriz de Pauli$\sigma_j$representa (hasta un factor de proporcionalidad) el giro en el$j$ª dirección de un giro$\frac{1}{2}$sistema. Dicho sistema tiene solo dos estados de espín:$\uparrow$y$\downarrow$, con valores propios opuestos. La plaza$\sigma_j^2$ya no puede ver el signo, por lo que solo tiene un valor propio, cf. comentario de BMS. En otras palabras, el cuadrado$\sigma_j^2$es proporcional a la matriz identidad.

Esto se debe a que solo hay dos valores posibles para el giro en cualquier dirección,$-\frac{\hbar}{2}$y$\frac{\hbar}{2}$, solo difieren en un signo, por lo que cuando lo elevas al cuadrado obtienes un solo valor$\frac{\hbar^2}{4}$. Piensa en esto, el único valor posible cuando mides el cuadrado de$S_z$es$\frac{\hbar^2}{4}$para cualquier estado, entonces

$$<\psi|S_z^2|\psi>=\frac{\hbar^2}{4} \quad \forall \, |\psi>$$ Entonces debe ser un múltiplo del operador de identidad. $$S_z^2=\frac{\hbar^2}{4} I$$ Recuerda eso $S_z$es proporcional a las matrices de Pauli, $S_z =\frac{\hbar}{2} \sigma_z$.