¿Cómo se define exactamente el giro en la mecánica cuántica?

Sé que el espín obtiene una definición adecuada y completa en la teoría cuántica de campos, cuando explicamos la relatividad en nuestra teoría cuántica. Esta pregunta no es sobre esto.

En cambio, estoy interesado en comprender cómo se define el giro en la mecánica cuántica no relativista, suponiendo que no sepamos nada sobre la ecuación de Dirac y demás.

Con respecto a esta pregunta, sé que en "vainilla" QM el giro se introduce de alguna manera por la fuerza , pero no sé exactamente qué significa esto: ¿el giro se introduce en la teoría solo sobre la base de la evidencia experimental, como el experimento de Stern-Gerlach ? ¿O tal vez hay alguna otra evidencia experimental? ¿U otras razones para presentarlo?

De todos modos, por algún razonamiento, determinamos que es una buena idea introducir el espín, como una propiedad intrínseca de las partículas, y postular que tiene la estructura algebraica del momento angular. Esto significa prácticamente que se postula que lo siguiente es cierto:

(1) [ S i , S j ] = i ℏ ε i j k S k
(2) [ S 2 , S i ] = 0

esto debería ser. Ningún otro postulado. Pero entonces se enuncia algo extraño , y se enuncia no como postulado sino de alguna manera como consecuencia de lo dicho hasta ahora:

Las partículas con espín 1/2 están asociadas con el momento angular en dos dimensiones y las partículas con espín 1 están asociadas con el momento angular en tres dimensiones.

¿Por qué? Que significa exactamente?

Pero la extrañeza no ha terminado. Entonces, de alguna manera, podemos mostrar ese giro 1 / 2 Las partículas tienen operadores de espín representados por Matrices de Pauli :

S i = ℏ 2 σ i

y también podemos mostrar ese giro 1 las partículas tienen operadores de espín representados por otro conjunto de matrices, estas matrices hasta donde yo sé no tienen nombre, pero son 3x3, de acuerdo con lo que hemos dicho en la cita.

¿Está todo esto simplemente postulado? ¿O se deriva de (1), (2) como entendí? Y si de hecho se deriva de (1), (2): ¿ cómo se deriva exactamente? ¿Cómo podemos saber que el espín está representado por estas matrices en particular? Y también por qué girar 1 / 2 es en 2D y gira 1 es en 3D?
Este bit en particular parece realmente extraño también porque en el caso de giro 1 / 2 el giro se puede medir hacia arriba o hacia abajo , así que puedo entender por qué está en 2D, pero ¿qué pasa con el giro? 1 partículas?

¿Es usted consciente de la correspondencia entre SU ( 2 ) y ENTONCES ( 3 ) ?
Tal vez esta respuesta mía que describe cómo se asignó el giro intrínseco, puede ayudar en parte de su pregunta physics.stackexchange.com/questions/586741/…
Me gustaría entender este tema tanto como sea posible sin contar con conocimientos sobre teoría de grupos y SU(2), SO(3). No he estudiado esta parte de las matemáticas, y sospecho que hay muchos estudiantes que necesitan comprender correctamente la definición de espín, pero tampoco han estudiado adecuadamente la teoría de grupos. Sería mejor una respuesta que no haga uso de la teoría de grupos.
Vale la pena considerar esta discusión semihistórica del efecto Zeeman (anómalo) antes de que se entendiera el espín, para explicar la división y su comportamiento en diferentes situaciones, uno se ve obligado a introducir arbitrariamente números cuánticos adicionales. Esto pide una explicación, con suerte sin introducir nada nuevo. Como menciona la discusión, Heisenberg descubrió que la introducción de medios enteros tenía sentido para las cosas, esto podría haber significado el final de la cuantización como se conocía si no pudiera tener sentido.
Resulta que esos números cuánticos adicionales y la posibilidad de momentos angulares semienteros caen inmediatamente de la teoría de la representación del álgebra del momento angular, claramente la representación habitual del operador diferencial del momento angular aplicada a las funciones de onda tiene que ser un compromiso demasiado fuerte. y se pierde algo, motiva a considerar una perspectiva de teoría de grupos más general, ya que esos números cuánticos caen tan directamente fuera de la teoría de la representación de s o ( 3 ) .
(2) se sigue de (1) ya que S 2 := S j S j ; no es un postulado separado.
Aunque dice que sería mejor una respuesta que no involucre la teoría de grupos: es difícil, porque el origen del giro proviene directamente de las representaciones (proyectivas) de SO (3), para comprender realmente lo que está sucediendo, creo que un pequeño grupo la teoría es inevitable (que también es la razón por la cual, a pesar de esta protesta, todos los demás comentarios/respuestas lo explicarán en términos de la teoría de grupo involucrada)
Es esencialmente una tautología que terminará aprendiendo la teoría de grupos para comprender el significado preciso del giro. Pero eso no significa que deba tomar un curso completo de teoría de grupos. Realmente necesitas entender una parte bastante limitada (pero profunda y hermosa) del tema. En un buen libro, deberías encontrar un argumento que construya los operadores de subida y bajada S ± = S X ± i S y . Dados estos operadores, puede construir los posibles conjuntos de estados. Spin-1/2 y Spin-1 (incluidas las matrices que mencionó) quedan fuera de este argumento.

Respuestas (2)

Las partículas con espín 1/2 están asociadas con el momento angular en dos dimensiones y las partículas con espín 1 están asociadas con el momento angular en tres dimensiones.

Esto es una tontería completamente incorrecta y ambigua, en el mejor de los casos, y deberías tirar el texto descuidado en el que lo viste. Es la teoría del grupo del latín del cerdo. Bien podría ser necesaria una buena introducción a la teoría de los grupos de Lie. Entiendo que esto es precisamente lo que pretende evitar, pero es un poco como pedir que se evite el cálculo y seguir utilizando sus técnicas. Lo mejor que podrías pedir es una presentación gentil .

Sus confusiones surgen de los esfuerzos de los novatos de los físicos de la década de 1920 para comprender el momento angular cuántico y el espín, y cómo ingresan al grupo de Lorentz y sus teorías.

Tanto el giro 1 como el giro 1/2 (y giros integrales o semienteros superiores para el caso) están asociados con la misma estructura de álgebra de Lie (1) que anotaste. ((2) es una fácil consecuencia de ello.) Los tres ("generadores") operadores S i de esta álgebra, cuando se exponen adecuadamente describen el grupo de rotaciones y un grupo de Lie asociado con la misma álgebra de Lie.

Resulta que, bastante independientemente de la física, por ineludible necesidad matemática, estos operadores pueden ser irreductiblemente representados por matrices de 2×2, 3×3, 4×4, 5×5,... , actuando sobre espacios de 2d, 3d , 4d, 5d, ... vectores. La dimensionalidad de estos espacios vectoriales corresponde a spin s = 1/2, 1, 3/2,2, etc. ( D=2s+1 ). El operador S 2 en su (2) tiene diferentes "valores propios" característicos para cada irrep, a saber, números que multiplican la matriz de identidad en cada dimensión de "espacio" D = 2 s +1:       S 2 = s ( s + 1 ) 1 1 . Estudie estas matrices, que ciertamente incluyen las de spin-1 sobre las que está preguntando.

Estos espacios pueden representar simetrías internas peculiares como isospin, etc., pero, en el espacio-tiempo, la representación 3d corresponde a nuestras tres dimensiones espaciales en las que rotamos, y la 2d irrep a un complejo abstracto 2d "espacio espinor", muy diferente a nuestras tres dimensiones . dimensiones del espacio, por lo que hablar de ello al mismo tiempo que las tres dimensiones del espacio como su cita pestilente seguramente lo confundirá.

Esta maravillosa teoría de grupos fue inventada/descubierta por pura razón en el siglo XIX y, cuando QM surgió en el siglo XX, los físicos tenían las herramientas listas para reconocer que describía las reglas de selección y los fenómenos de Zeeman involucrados. Tratar de "derivarlo" de "axiomas" físicos es tan tonto como tratar de derivar el cálculo matricial, o incluso la geometría, de la física. Debido a que, en ese momento, los físicos no estaban demasiado familiarizados con las álgebras de Lie, los sofisticados como Wigner y Dirac (cuñados) les facilitaron la aplicación de estas estructuras a QM sin un formalismo indebido; pero, al final del día, lo mejor es comenzar con la teoría matemática elegante y estricta, y simplemente aplicarla a la física, ajustándola casi mágicamente, como lo hace la geometría.

Usted es consciente de que el giro surge naturalmente de las ecuaciones de Dirac, pero clásicamente la justificación del giro fue históricamente más ad-hoc. El papel que juega el giro está bien descrito por anna v.

¿Qué es el giro? Cada vez que haces este tipo de preguntas en QM, te metes en un territorio incómodo, pero aquí va. Es la propiedad que se mide por operadores que obedecen

[ L i , L j ] = i ℏ mi i j k L k
Es una de las álgebras no triviales más simples y tiene algo de belleza. Por ejemplo, no depende de ningún sistema de coordenadas y tiene una escala natural. es decir, si cambias L i → λ . L i es instantáneamente detectable.

No necesita la teoría de grupos para comprender la representación (pero ayuda). Para 1/2 giro, defina 2 estados

[ 1 0 ]
y
[ 1 0 ]
y busque 3 matrices 2x2 que operen sobre ellas y obedezcan las relaciones del conmutador. Si juega lo suficiente, aparecerán las matrices de Pauli. Un poco de álgebra muestra que en este caso el momento angular es ± ℏ / 2 (girar 1/2).

De manera similar, si tiene una partícula con 3 estados posibles, obtiene matrices diferentes (obviamente) y el giro toma los valores − ℏ , 0 , ℏ .

La afirmación " Las partículas con espín 1/2 están asociadas con el momento angular en dos dimensiones y las partículas con espín 1 están asociadas con el momento angular en tres dimensiones " es confusa. Las partículas de espín 1/2 están asociadas con un espacio de espín que es complejo y 2D, no corresponden directamente al espacio 2D (o espacio-tiempo).

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