¿Definición de velocidad en la mecánica cuántica?

Question

¿Definición de velocidad en la mecánica cuántica?

mohamed daoud

¿Cuál es la definición de velocidad en la mecánica cuántica? es un operador?

alfredo centauro

Solo una breve nota (FWIW) de que, en el contexto de la mecánica de Bohmian , hay partículas reales con velocidades reales, pero la velocidad de una partícula no es observable.

Respuestas (5)

¿Definición de velocidad en la mecánica cuántica?

Solo una breve nota (FWIW) de que, en el contexto de la mecánica de Bohmian , hay partículas reales con velocidades reales, pero la velocidad de una partícula no es observable.

qmecanico · Answer 1

El $j$ El operador de velocidad en la imagen de Heisenberg se puede calcular usando el EOM de Heisenberg
$\dot{{\hat{q}}^{j}} = \frac{1}{i ℏ} [{\hat{q}}^{j}, \hat{H}],$ $\dot{\hat{q}^j}~=~\frac{1}{i\hbar}[\hat{q}^j, \hat{H}],$ dónde $\hat{q}^j$ es el $j$ Operador de posición th.
En el cuadro de Schrödinger , el $j$ El operador de velocidad se define como el conmutador $\frac{1}{i\hbar}[\hat{q}^j, \hat{H}]$ .

Estoy estudiando de Cohen Tannoudji, no pude encontrar estas definiciones extremadamente útiles. ¿Puede decirme dónde puedo encontrar estas ecuaciones, qué texto se refiere a ellas? Muchas gracias

biofísico · Answer 2

El problema de pensar en la velocidad en QM es que las partículas no tienen una posición definida hasta que se miden. Así que cuando tienes la definición clásica de velocidad

v = \frac{d X}{d t}

$\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{x}}{dt}$

La derivada temporal de la posición no se puede determinar.

Sin embargo, puede mirar la derivada temporal del valor esperado de la posición y puede llegar a una relación familiar con $H$ como el hamiltoniano

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = \frac{i}{ℏ} ⟨ [H, X] ⟩ = \frac{⟨ pag ⟩}{metro}

$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle [H,X]\rangle=\frac{\langle p \rangle}{m}$

Y podría definir esto como la velocidad en QM. Pero no es un operador.

Por lo general, solo tiene el operador de momento en lugar de un operador de velocidad. Aunque supongo que podría definir un "operador de velocidad" como el operador de momento dividido por la masa de la partícula. Solo tendría problemas con las partículas sin masa. El operador de cantidad de movimiento es mucho más útil.

trevor kafka · Answer 3

Desde

\hat{pag} = \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial X},

$\hat p = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x},$ puede definir un operador de velocidad

\hat{v} \equiv \frac{\hat{pag}}{metro} = \frac{ℏ}{i metro} \frac{\partial}{\partial X} .

$\hat v \equiv \frac{\hat p}{m} = \frac{\hbar}{im} \frac{\partial}{\partial x}.$ Por supuesto, esto solo es válido para partículas que tienen masa (

m \neq 0

$m \ne 0$ ).

Y técnicamente, ni siquiera necesitaría definir el operador en la base de posición.
¿Quieres decir, como en una base de impulso? $\hat v = p/m$ ? O solo en general? $\hat v$ definiéndose de tal manera que para estados de momento definidos tenemos $\hat v \ket p = p/m \ket v$ ?
Solo quise poder definir el operador sin referencia a ninguna base.

zane chen · Answer 4

La respuesta de Qmechanic es bastante estándar y aquí intentaré ofrecer una explicación más detallada relacionándola con la velocidad de grupo de las funciones de onda. Ya tenemos (caso 1D como ejemplo)

\frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = \frac{i}{ℏ} ⟨ [H, \hat{X}] ⟩ .

$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle [H,\hat x]\rangle.$ No necesariamente

\frac{d ⟨ x ⟩}{d t} = \frac{⟨ p ⟩}{m}

$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\frac{\langle p \rangle}{m}$ , por ejemplo para un electrón en un campo magnético

H = \frac{1}{2 m} {(p + e A)}^{2}

$H=\dfrac{1} {2m}\left(p+eA\right)^{2}$ obtenemos

\frac{d ⟨ x ⟩}{d t} = \frac{⟨ p + e A ⟩}{m}

$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\frac{\langle p+eA \rangle}{m}$ , es un momento exactamente mecánico sobre la masa.

Usando la base propia del impulso (supongamos $[\hat{k},\hat{H}]=0$ ) obtenemos

\frac{i}{ℏ} ⟨ [H, \hat{X}] ⟩ = \frac{i}{ℏ} ⟨ [H, i ℏ \frac{\partial}{\partial pag}] ⟩ = ⟨ \frac{\partial}{\partial pag} H ⟩ = \frac{1}{ℏ} \frac{\partial mi (k)}{\partial k} .

$\frac{i}{\hbar}\langle [H,\hat x]\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle [H,i\hbar\ \frac{\partial}{\partial p}]\rangle=\langle \frac{\partial}{\partial p} H\rangle=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E(k)}{\partial k}.$ Creo que el resultado anterior puede interpretarse como velocidad solo cuando intentamos describir un paquete de ondas que satisfaga la relación de incertidumbre mínima. Tal paquete de ondas corresponde a una partícula real en el mundo clásico. La velocidad de este paquete de ondas, es decir, la velocidad del grupo, representa la velocidad de una partícula en el mundo real. Para otros tipos de funciones de onda, por ejemplo, la onda plana,

\frac{\partial E (k)}{\partial k} = \frac{ℏ k}{m}

$\frac{\partial E(k)}{\partial k}=\frac{\hbar k}{m}$ no se puede reconocer directamente como velocidad ya que ahora la posición es completamente incierta.

papi kropotkin · Answer 5

En la mecánica cuántica ordinaria, por supuesto, tenemos la función de onda de una partícula que viaja en una dimensión,

⟨ X | Ψ ⟩ = Ψ (X)

$\langle x \lvert \Psi \rangle = \Psi(x)$

que contiene toda la información posible que podríamos querer saber. Para extraer información que sea comprobable, tomamos valores esperados de observables que existen como operadores.

¿Cuál es la definición de velocidad en la mecánica cuántica? es un operador?

Entonces, uno puede llamar,

v = \frac{d X}{d t}

$v = \frac{dx}{dt}$

un operador de velocidad para una partícula dinámica, y luego tome su valor esperado. Pero esto es incómodo, sin embargo, ya que en la mecánica cuántica usamos las variables canónicas conjugadas de posición, $x$ , y el impulso, $p$ , que están relacionados a través de una relación de incertidumbre (no conmutan).

Alternativamente, tomamos la velocidad como la derivada temporal del valor esperado de la posición,

v = \frac{d ⟨ X ⟩}{d t} = ⟨ \frac{pag}{metro} ⟩

$v = \frac{d\langle x \rangle}{dt} = \langle \frac{p}{m} \rangle$

que no es un operador.

De manera más general, la noción de velocidad está encapsulada en el operador de densidad de corriente, también llamado corriente de probabilidad , que es la tasa de flujo para una densidad de probabilidad que se trata como un fluido heterogéneo.

Aparece de forma latente, por ejemplo, en el Teorema de Ehrenfest de la mecánica cuántica.

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