¿Qué derivada con respecto al tiempo es cuál en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica?

No hay ningún error en la página de Wikipedia y todas las ecuaciones y declaraciones son consistentes entre sí. En

$$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar}$$ la carta $A$en el medio del producto representa el operador de imagen de Schrödinger $A = A_{\rm Schr.}$que no evoluciona con el tiempo porque en la imagen de Schrödinger, la evolución dinámica está garantizada por la evolución del vector de estado $|\psi\rangle$.

Sin embargo, esto no significa que la derivada temporal$dA_{\rm Schr.}/dt=0$. En cambio, tenemos

$$\frac{dA_{\rm Schr.}}{dt} = \frac{\partial A_{\rm Schr.}}{\partial t}$$ Aquí, $A_{\rm Schr.}$pretende ser una función de $x_i, p_j$, y $t$. En la mayoría de los casos, los operadores de imágenes de Schrödinger no dependen de $t$- lo que llamamos una "dependencia explícita" - pero es posible considerar un caso más general en el que existe esta dependencia explícita (algunos términos en la energía, por ejemplo, la energía electrostática en un campo externo, puede ser naturalmente dependiente del tiempo) .

En el cuadro de Schrödinger,$dx_{i,\rm Schr.}/dt=0$y$dp_{j,\rm Schr.}/dt=0$por lo que la derivada total de$A_{\rm Schr.}$con respecto al tiempo está dada simplemente por la derivada parcial con respecto al tiempo. Imagina, por ejemplo,

$$A_{\rm Schr.}(t) = c_1 x^2 + c_2 p^2 + c_3 (t) (xp+px)$$ tendríamos $$\frac{dA_{\rm Schr.}(t)}{dt} = \frac{\partial c_3(t)}{\partial t} (xp+px).$$ Estos operadores de imagen de Schrödinger se denominan "sin transformar" en esa página de Wikipedia. Los transformados son los operadores de imágenes de Heisenberg dados por $$A_{\rm Heis.}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\rm Schr.}(t) e^{-iHt/\hbar}$$ Su derivada temporal, $dA_{\rm Heis.}(t)/dt$, es más complicado. Una fácil diferenciación da exactamente la fórmula que implica $[H,A_{\rm Heis.}]$que también citaste. $$\frac{d}{dt} A_{\rm Heis.}(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A_{\rm Heis.}(t)] + \frac{\partial A_{\rm Heis.}(t)}{\partial t}.$$ Los dos términos en el conmutador surgen de la $t$-derivadas de las dos exponenciales en la fórmula de Heisenberg $A_{\rm Heis.}(t)$mientras que la derivada parcial surge de $dA_{\rm Schr.}/dt$siempre hemos tenido. (Estas ecuaciones simples siguen siendo así de simples incluso para una función dependiente del tiempo). $A_{\rm Schr.}$; sin embargo, tenemos que suponer que el total $H$es independiente del tiempo, de lo contrario todas las ecuaciones se volverían más complicadas.) Las dos exponenciales en ambos lados nunca desaparecen por ningún tipo de derivada, así que obviamente, todas las apariencias de $A$en la ecuación diferencial anterior son $A_{\rm Heis.}$. La ecuación que se muestra arriba es la (única) ecuación dinámica para la imagen de Heisenberg, por lo que es independiente y no incluye ningún objeto de otras imágenes.

En el cuadro de Heisenberg, ya no se da el caso de que$dx_{\rm Heis.}(t)/dt=0$(¡no!) y la identidad similar falla para$p_{\rm Heis.}(t)$también.$A_{\rm Heis.}(t)$es una función general de todos los operadores básicos$x_{i,\rm Heis.}(t)$y$p_{j,\rm Heis.}(t)$, así como el tiempo$t$.

La imagen de Heisenberg se define como

$$A_{\mathrm{H}}(t) = e^{iHt/\hbar} A_{\mathrm{S}}(t) e^{-iHt/\hbar}$$

diferenciando ambos lados obtenemos

$$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{H}}(t) = [ A_{\mathrm{H}}(t), H] + i\hbar \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}} \>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\>\> (1)$$

Algunos libros de texto reescriben el último término usando la notación [*]

$$\frac{\partial}{\partial t} A_{\mathrm{H}}(t) \equiv \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} A_{\mathrm{S}}(t) \right)_{\mathrm{H}}$$

[*] Estoy de acuerdo en que esta notación es incómoda para los matemáticos (no es una verdadera derivada parcial) y los libros de texto de física más rigurosos usan (1) con la derivada del tiempo total.

Es más fácil derivar esto de la imagen de Schrödinger:

Dejar$B(t)$ser un operador dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. El operador correspondiente en la imagen de Heisenberg es$A(t) = e^{iHt/\hbar} B(t) e^{-iHt/\hbar}$. Diferenciación con respecto a$t$da

$$\frac{d}{dt} A(t) = e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} H B(t) + \frac{\partial}{\partial t}B(t) - \frac{i}{\hbar} B(t) H) \right) e^{-iHt/\hbar}$$ $$= e^{iHt/\hbar} \left(\frac{i}{\hbar} [H,B(t)] + \frac{\partial}{\partial t}B(t)\right) e^{-iHt/\hbar} = \frac{i}{\hbar} [H,A(t)] + \frac{\partial A}{\partial t}$$

En otras palabras, la última derivada parcial debe entenderse en el sentido de que se toma el operador$\frac{\partial B}{\partial t}$y "evolucionarlo en el tiempo" a través de la ecuación de Schrödinger.

No-ejemplo útil: el operador de velocidad$\vec v$. El operador de velocidad es la derivada del operador de posición, pero es la derivada total a medida que evoluciona el sistema. Por eso,

$$\vec v = \frac{i}{\hbar} [H,\vec r] .$$

En la imagen de Schrödinger, el operador de posición es, por supuesto, independiente del tiempo. Ya que$H$es independiente del tiempo también, este es también el operador de velocidad correcto en la imagen de Schrödinger.

Como siempre en la formulación hamiltoniana de la mecánica, ya sea clásica o cuántica,

$$\partial A\over\partial t$$ significa el camino $A$varía explícitamente en el tiempo simplemente por la ocurrencia de $t$ explícitamente en su fórmula .

Pero algunas de las otras partes de la fórmula de$A$podría cambiar con el tiempo también, contribuyendo así algo al cambio total en$A$a medida que pasa el tiempo, anotado

$$dA\over dt.$$

Esto es lo mismo que la notación en la regla de la cadena en varias variables donde$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt$. El diferencial del lado izquierdo es el «diferencial total»$df$pero es la suma de dos términos, de los cuales sólo uno es la dependencia explícita de$f$en$t$.

Para aquellos que están haciendo la tarea y, como yo, tienen la cabeza dando vueltas sobre las imágenes de Schrödinger vs. Heisenberg y, en consecuencia, han perdido de vista los principios básicos que los llevaron aquí, recuerden que hay una diferencia entre la evolución de los valores esperados y la evolución de los operadores. .

$$\frac{\partial x}{\partial t} = 0$$

el operador$x$no evoluciona con el tiempo en la imagen de Schrödinger. Sin embargo, en lo que se refiere a la pregunta original que inició este hilo, en la imagen de Heisenberg,$x$se representaría con operadores de evolución a cada lado, cada uno de los cuales tiene una dependencia explícita del tiempo. Por lo tanto, lo que creo que Wikipedia quiso decir con "operador transformado" se relaciona con la "imagen" en la que está representado.