Operador de giro: prueba engañosa usando matrices gamma

Question

Operador de giro: prueba engañosa usando matrices gamma

SuperCiocia

No me he ocupado mucho de las matrices gamma, así que tengo algunos problemas aquí.

Básicamente quiero mostrar que el operador de espín definido por

\hat{S} = \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ

$\mathbf{\hat{S}} = \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}$

satisface la relación de conmutación $[H,\mathbf{S}] = \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \times \nabla$ con el hamiltoniano:

H = γ^{0} (- i γ \cdot \nabla + metro) .

$H = \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m) .$

Mi trabajo hasta ahora:

[H, S] ψ = H S ψ - S H ψ = γ^{0} (- i γ \cdot \nabla + metro) * \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ - \frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ * γ^{0} (- i γ \cdot \nabla + metro) ψ = - i γ^{0} γ \cdot \nabla (\frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ) + \frac{metro}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ + \frac{i}{2} γ^{5} γ^{0} γ γ^{0} γ \cdot \nabla ψ - \frac{metro}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ = - i γ^{0} γ \cdot \nabla (\frac{1}{2} γ^{5} γ^{0} γ ψ) + \frac{i}{2} γ^{5} γ^{0} γ γ^{0} γ \cdot \nabla ψ

$[H,\mathbf{S} ]\color{blue}{\psi} = \\ H\mathbf{S}\color{blue}{\psi} - \mathbf{S} H\color{blue}{\psi} = \\ \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m)*\frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} - \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}* \gamma^0(-i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla + m)\color{blue}{\psi} = \\ -i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot {\nabla \left ( \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} \right )} + {\frac{m}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}}\color{blue}{\psi} + \frac{i}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\color{blue}{\psi} - \frac{m}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} = \\ -i\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\cdot {\nabla \left ( \frac{1}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\color{blue}{\psi} \right )} + \frac{i}{2}\gamma^5 \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \gamma^0 \boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\color{blue}{\psi}$

cambiar a la notación de índice ahora $[H, S^i]$ :

\frac{- i}{2} γ^{0} γ^{5} γ^{0} γ^{i} γ^{k} \partial^{k} + \frac{i}{2} γ^{5} γ^{0} γ^{i} γ^{0} γ^{j} \partial^{j},

$\frac{-i}{2}\gamma^0 \gamma^5\gamma^0 \gamma^i \gamma^k\partial^k + \frac{i}{2}\gamma^5\gamma^0\gamma^i\gamma^0 \gamma^j\partial^j,$ reordenando:

- i γ^{5} γ^{i} γ^{j} \partial^{j}

$-i\gamma^5\gamma^i\gamma^j\partial^j$

Ahora, la respuesta es $\gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \times\nabla$ , y para obtener la $\times$ ahí necesito un símbolo de Levi-Civita. Lo cual supongo que viene de la definición de

γ^{5} = \frac{i}{4!} ϵ_{m v α β} γ^{m} γ^{v} γ^{α} γ^{β},

$\gamma^5 = \frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta},$ de la que tendría

[H, S^{i}] = \frac{1}{4!} ϵ_{m v α β} γ^{m} γ^{v} γ^{α} γ^{β} γ^{i} γ^{j} \partial^{j}

$[H, S^i] = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta} \gamma^i \gamma^j \partial^j$ de donde corren las letras griegas

0

$0$ a

4

$4$ mientras que los latinos sólo de

1

$1$ a

3

$3$ .

¿Cómo procedo?

SuperCiocia

también, ¿cómo es que no puedo usar \cancel para dibujar un tachado inclinado a través del

2^{n d}

$2^{nd}$ y

4^{t h}

$4^{th}$ términos en la segunda línea?

Boom de fotones

¿Lo has probado usando componentes de

S

$\mathbf{S}$ , es decir

S^{i}

$S^i$ en lugar del vector

S

$\mathbf{S}$ ? Probablemente sería más fácil, y se puede generalizar muy fácilmente.

SuperCiocia

¿No es eso lo que hice en el último paso?

Respuestas (1)

Operador de giro: prueba engañosa usando matrices gamma

también, ¿cómo es que no puedo usar \cancel para dibujar un tachado inclinado a través del $2^{nd}$ y $4^{th}$ términos en la segunda línea?
¿Lo has probado usando componentes de $\mathbf{S}$ , es decir $S^i$ en lugar del vector $\mathbf{S}$ ? Probablemente sería más fácil, y se puede generalizar muy fácilmente.

Ali Moh · Answer 1

\begin{aligned} - i γ^{5} γ^{i} γ^{j} \partial_{j} & = γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3} γ^{i} γ^{j} \partial_{j} \\ = \frac{1}{3!} γ^{0} ϵ_{k yo metro} γ^{k} γ^{yo} γ^{metro} γ^{i} γ^{j} \partial_{j} \\ = \frac{1}{2} γ^{0} ϵ_{k yo i} γ^{k} γ^{yo} γ^{j} \partial_{j} \\ = γ^{0} ϵ_{k j i} γ^{k} \partial_{j} \\ = γ^{0} \vec{γ} \times \vec{\nabla} \end{aligned}

$\begin{align*} -i\gamma^5 \gamma^i \gamma^j \partial_j &= \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 \gamma^i \gamma^j \partial_j \\ &= \tfrac{1}{3!}\gamma^0 \epsilon_{klm}\gamma^k\gamma^l\gamma^m\gamma^i\gamma^j\partial_j\\ &= \tfrac{1}{2}\gamma^0 \epsilon_{kli}\gamma^k\gamma^l\gamma^j\partial_j\\ &= \gamma^0 \epsilon_{kji}\gamma^k\partial_j\\ &=\gamma^0 \vec{\gamma}\times\vec{\nabla} \end{align*}$ Hay dos pasos que necesitan justificación, pero esto queda para que usted lo haga.

Bueno, gracias. He tratado de resolverlo, pero obviamente me falta un truco o una identidad clave. Sigo el paso entre la primera y la segunda línea. Pero entre la segunda y la tercera, ¿cómo te deshaces de la $\gamma^m \gamma^i$ ? He tratado de escribirlo como $-\gamma^i \gamma^m + 2g^{im}$ pero no obtengo la misma respuesta..
EN REALIDAD lo siento no, no te sigo. ¿Puede por favor elaborar?

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Ali Moh

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