Derivación de (2.45) en Peskin y Schroeder

Esto es realmente sencillo, una vez que te acostumbras a la notación. (¿No odias cuando la gente dice eso?)

$$[\pi (\vec{x},t), (-\nabla^{2} +m^{2})\phi (\vec{y},t)] ,$$

Aquí debes recordar que$\nabla^2$actúa sobre el$\phi(\vec{y},t)$sólo así$\pi$puede pasar directamente a través de este operador de onda. Ahora, cuando evalúes el conmutador, terminarás con algo como$\phi (\vec{y},t)(-\nabla^{2} +m^{2})\delta^{(3)}(\vec x-\vec y)$, después de lo cual usa "autoadjunto" de$\nabla^2$(realmente, integración por partes), para hacer que el operador de onda actúe en el primer$\phi$. Es posible que deba volver a etiquetar las variables después.

$$i {{\partial}\over{\partial t}}\pi=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\pi^2+\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=[\pi,\int d^3x\tfrac{1}{2}\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\phi[\pi,()]\phi+\phi()[\pi,\phi]$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\pi\phi+\phi()\pi\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\phi\pi()\phi-\phi()\phi\pi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+\{\pi\phi()\phi-\phi\pi()\phi\}$$ $$=\tfrac{1}{2}\int d^3x[\pi,\phi]()\phi+[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x[\pi,\phi]()\phi$$ $$=\int d^3x-[\phi,\pi]()\phi$$ $$=\int d^3x-i\delta()\phi$$ $$=-i()\phi$$ No estoy seguro acerca de la parte central, pero he usado algunas propiedades: (2.44), (2.20), (2.30) y, por supuesto, la identidad del conmutador. Pero no creo que esa sea la forma correcta de probar esto. (Yo también estoy luchando)