Demostrando [a†k,a†q]=0[ak†,aq†]=0[a_k^\dagger, a_q^\dagger]=0

Estoy tratando de probar las relaciones de conmutación entre los operadores de creación y aniquilación en la teoría de campos. eso ya lo pude demostrar [ a k , a q † ] = i d ( k − q ) . quiero mostrar eso [ a k † , a q † ] = 0 , pero estoy atascado en el último paso. Creo que mi confusión tiene que ver con la interpretación de la función delta y esperaba que alguien pudiera ayudarme. Hasta ahora he demostrado que

a k † = ∫ d 3 X mi − i k X [ mi k 2 ϕ ( X ) − i 1 2 mi k π ( X ) ] ,

dónde ϕ ( X ) y π ( X ) son el campo y el momento conjugado respectivamente. En base a esto pude demostrar que

[ a k † , a q † ] = ∫ d 3 y d 3 X mi − i ( k X + q y ) [ − i mi k mi q [ ϕ ( X ) , π ( y ) ] + i mi q mi k [ ϕ ( y ) , π ( X ) ] ] .

Usando la relación de conmutación [ ϕ ( X ) , π ( y ) ] = i d 3 ( X − y ) esto se convierte

[ a k † , a q † ] = ∫ d 3 y mi − i ( k + q ) y [ mi k mi q − mi q mi k ] .

Y creo que la integral sobre y nos da una función delta. Si he hecho todo correctamente, entonces esto debería ser

[ a k † , a q † ] = d 3 ( k + q ) [ mi k mi q − mi q mi k ] .

Como ya conozco las relaciones de conmutación, sé que la expresión final debe ser igual a cero para cualquier valor arbitrario de k y q . Pero mi expresión final realmente no dice eso para k = − q . Sin embargo, realmente no entiendo de dónde viene esta discrepancia. ¿Hay alguna forma de interpretar esta función delta (es decir, es ∞ ⋅ 0 = 0 ?) que no entiendo o he cometido un error de cálculo en alguna parte?

¿Qué sucede con la expresión entre paréntesis cuando k = − q ...?
Supongo que esto es lo que me cuesta interpretar. Obtienes ∞⋅0, que supongo que es igual a cero, pero no estoy seguro de por qué. Edité la pregunta para aclarar lo que estoy preguntando.
Tenga en cuenta ∫ d ( X − a ) F ( X ) = F ( a ) . Para calcular cualquier cosa física, integrará esta función delta y el resultado será cero.
Otra forma de verlo es recordar que X d ( X ) = 0 (ya que cuando se aplica en cualquier función de prueba, esto siempre dará cero).

Respuestas (1)

Puede pensar en el formalismo continuo como el caso límite del de momento discreto: si el momento se toma como una variable discreta (lo que equivale a restringir las partículas para que estén en un volumen finito V ) la expansión de Fourier del campo (real, escalar) es:

(1) φ ( X ) = ∑ k 1 2 V ω k ( a k mi − i k X + a k † mi i k X )
A partir de esto, puede verificar (de manera similar a lo que hizo anteriormente) que
(2) [ a k , a q † ] = d k , q , [ a k , a q ] = 0 = [ a k † , a q † ] .
esta vez sin los problemas derivados del manejo de las funciones delta de Dirac continuas.

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