Estado de giro después del impulso

Estoy trabajando con el libro QFT de Weinberg, y en el problema 1 del capítulo 2 me encontré con una gran cantidad de álgebra, así que estoy tratando de "hacer trampa" usando algunas suposiciones, pero no estoy seguro de su validez. El problema es así: "Observador$O$ve un bosón W con impulso$p$a lo largo del eje y y componente de giro z$\sigma$. ¿Cómo el observador$O'$describir el estado cuando viaja a lo largo del eje z con velocidad$v$relativo a$O$?"

Entonces, necesitamos calcular la rotación de Wigner para encontrar el ángulo de rotación:

Dónde$L(p)$es un impulso que toma el impulso estándar$(M,0,0,0)$a cuatro impulso$(p_0,\bf{p})$. Sin embargo, la matriz$L^{-1}(\Lambda p)$es realmente desagradable Así que pensé en hacerlo de esta manera. Vemos que el impulso se transforma en

en el$O'$marco. Tomé esto en el sentido de que la rotación de Wigner debería ser una rotación sobre el eje x en algún ángulo$\theta$. ¿Es correcta esta suposición? A partir de aquí, reorganicé la expresión de rotación de Wigner para

que tiene una forma relativamente simple en función de$\theta$. Luego usé el hecho de que$L(\Lambda p)$debe ser una matriz simétrica para obtener una expresión para$\theta$en términos de$p$y$v$. Una vez que tengamos$\theta$Creo que el resto del cálculo es bastante sencillo, ya que los elementos de la matriz D de Wigner se pueden calcular con bastante facilidad. Lo que más me preocupa es mi enfoque para encontrar la rotación de Wigner... ¿es correcta mi lógica? Si no, ¿cómo abordaría este problema? ¡El álgebra en el cálculo directo parece bastante inmanejable!

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Después de unos días sin actividad, me pregunto si hay algo que pueda hacer para mejorar esta pregunta.